横に投げても落ちる時間は変わらない（高校物理の水平投射）

机の端から $1$ 個のボールを水平にはじき、同じ瞬間にもう $1$ 個を真下へ落とします。床に当たる音は $1$ 回しか聞こえません。

強くはじいても弱くはじいても同じです。落ちるのにかかる時間は、机の高さだけで決まります^[1]。

$t = \frac{2 h}{g}$

初速はこの式に入っていません。水平に投げた速さは、どこへ落ちるかを変えるだけで、いつ落ちるかを変えない。

横と縦は口を出し合わない

水平投射を扱うときは、運動を $2$ 方向に分けます^[2]。

水平方向には力がはたらきません。だから速度は初速のまま変わらない。

鉛直方向には重力だけがはたらきます。こちらは初速 $0$ の自由落下と同じです。

$x y = v_{0} t = h - \frac{1}{2} g t^{2}$

$2$ つの式に共通するのは時刻 $t$ だけ。 $x$ の式に $g$ は出てこないし、 $y$ の式に $v_{0}$ は出てきません。

この独立性が、冒頭の実験の答えです。横向きの速さをいくら変えても、 $y$ の式には触れられない。

例：高さ 20 m から秒速 15 m で投げる

まず時間を出します。 $y = 0$ とおいて $t$ について解く。

$t = \frac{2 \times 20}{9.8} = 2.0 s$

この $2.0$ 秒を水平の式に入れると、着地点までの距離が出ます。

$x = 15 \times 2.0 = 30 m$

秒速 $30 m$ で投げたなら $60 m$ 、秒速 $5 m$ なら $10 m$ 。時間はどれも $2.0$ 秒のままです。

順序が大事で、先に時間を出してから水平へ持っていく。この向きで解けば、水平投射の問題はほとんど片づきます。

高さから落下時間を出す

その時間を水平の式へ入れる

水平到達距離が決まる

軌道は放物線になる

$2$ 本の式から $t$ を消すと、軌道そのものの式が出ます。 $t = x / v_{0}$ を代入する。

$y = h - \frac{g}{2 v _{0}^{2}} x^{2}$

$x$ の $2$ 乗に比例して下がる形なので、放物線です^[2]。頂点は投げ出した点そのもの。

$v_{0}$ が大きいほど $x^{2}$ の係数が小さくなり、放物線が横へ引き伸ばされます。速く投げるほど平べったい弧を描く。

高さ $20 m$ 、秒速 $15 m$ なら $y = 20 - 0.022 x^{2}$ です。

着地の速さと向き

水平の速さは最後まで $15 m/s$ のまま。鉛直の速さは $v_{y} = g t$ で増え続けます。

$t = 2.0$ 秒のとき $v_{y} = 19.6 m/s$ 。 $2$ つを合成します。

$v = 1 5^{2} + 19. 6^{2} ≒ 25 m/s$

速度が水平となす角は $tan θ = v_{y} / v_{0} = 1.31$ から $5 3^{\circ}$ 。投げ出したときは $0^{\circ}$ で、落ちるにつれて立っていきます。

エネルギーで確かめると $v = v_{0}^{2} + 2 g h = 225 + 392 = 25 m/s$ 。同じ値になりました。

速度の水平成分

投げた瞬間から着地まで変わらない。 $15 m/s$ のまま

速度の鉛直成分

$0$ から始まり $g t$ で増える。着地では $19.6 m/s$

例：落ちる的をねらう

木にぶら下がった的をまっすぐねらって撃ちます。撃った瞬間に、的が手を離して落ち始める。

外れそうに思えますが、当たります。弾も的も同じ $\frac{1}{2} g t^{2}$ だけ落ちるためです^[2]。

重力がなければ、弾はねらった直線の上を進んで的に当たったはず。実際には両方が同じだけ下へずれるので、ずれた先で出会います。

弾の速さは当たるかどうかに関係しません。速さが変えるのは、どの高さで当たるかだけ。遅い弾なら低いところで、速い弾なら高いところで出会います。

ただし的が地面に着く前に届く必要があります。遅すぎると、出会う前に的が着地してしまう。

この的当ての話は、重力が両方に同じだけはたらくことだけを使っています。

だから月でも成り立つし、 $g$ の値を知らなくても当たると言い切れる。

空気抵抗があると崩れる

ここまでの式は空気抵抗を無視しています。実際には水平の速さも落ちていくので、到達距離は計算より短くなる^[3]。

崩れ方は物体で違います。鉄球のように重くて小さいものでは、数十メートルの落下ならほとんど影響がありません。

紙や発泡スチロールでは最初から合いません。抵抗が重力に対して大きいためです。

同時着地の実験も、軽いものでやると崩れます。水平に投げた側のほうが速さが大きく、そのぶん抵抗も大きくなって、鉛直方向の落ち方まで変わってしまう。

つまずきやすいところ

水平に強く投げれば落ちるまでの時間が延びると考える。時間は高さだけで決まります。

速度の水平成分が途中で減ると考える。水平方向に力がないので変わりません。

着地の速さを

v_{0}

か

g t

のどちらか一方で答える。

2

成分を合成します。

軌道の頂点を途中にとる。水平投射では、投げ出した点が頂点になります。

時間を先に出さずに水平から解こうとする。

x

の式だけでは

t

が決まりません。

横と縦を切り離す。この一手で、 $2$ 次元の運動が知っている $2$ つの運動の重ね合わせになります。

高さ $45 m$ の崖から、水平に秒速 $20 m$ で石を投げます。着地までにかかる時間はいくらですか。

$2.3$ 秒
$3.0$ 秒
$4.5$ 秒

__RESULT__

時間は高さだけで決まるので $t = 2 \times 45/9.8 = 3.0$ 秒です。秒速 $20 m$ という値は、水平到達距離 $60 m$ を出すときに使います。

参考

4.4: Projectile Motion/Book%3A_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/04%3A_Motion_in_Two_and_Three_Dimensions/4.04%3A_Projectile_Motion). University Physics I, OpenStax / Physics LibreTexts.

Trajectories. HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.

Jimmy Roussel. *Problèmes de chute*. Femto-Physique, cours de mécanique classique.

机の端から 1 個を水平にはじき、同じ瞬間にもう 1 個を真下へ落とすと、床に当たる音は 1 回しか聞こえません。落下時間は高さだけで決まり、初速は式に入っていないため。水平は等速、鉛直は自由落下で、2 本の式が共有しているのは時刻だけです。だから先に時間を出し、それを水平の式へ入れれば到達距離が決まる。軌道が放物線になる理由、着地の速さを 2 成分の合成でもエネルギーでも出せること、落ちる的をまっすぐねらって当たる理由まで。