運動量保存とはねかえり係数（衝突したあとの速さを求める）

衝突の問題は、保存する量とそうでない量を分けるところから始まります。運動量はどんな衝突でも変わらない。運動エネルギーは、弾性衝突のときだけ変わりません^[1]。

だから式は $2$ 本要る。$1$ 本目が運動量保存、$2$ 本目がはねかえり係数の定義になる。未知数が $2$ つなので、これでちょうど解ける。

はねかえり係数は相対速度の比

$2$ 物体の衝突では、近づく速さと遠ざかる速さの比が係数になります^[4]。

$$e=-\frac{v_1^{\prime }-v_2^{\prime }}{v_1-v_2}$$

負号は、向きが入れかわることを打ち消すために付く。値は $0$ から $1$ のあいだに収まる^[1]。

$e=1$ が弾性衝突で、エネルギーが減りません。$e=0$ は合体する衝突で、$2$ 物体が同じ速度になる。あいだの値では、減り方が中途半端になります。

例：合体する衝突

$2.0\mathrm{kg}$ が $6.0m/s$ で進み、静止した $3.0\mathrm{kg}$ にぶつかって一体になります。$e=0$ の場合。

運動量は $2.0\times 6.0$ で $12\mathrm{kg}m/s$ になります。合わせた質量で割る。

$$v=\frac{12}{2.0+3.0}=2.4m/s$$

運動エネルギーのほうは減る。前は $36\mathrm{J}$、あとは $14.4\mathrm{J}$ に落ちた。

差の $21.6\mathrm{J}$ が変形と熱に変わりました。合体する衝突は、いちばん多くのエネルギーを失う形になる。

例：はねかえり係数が 0.50 の衝突

同じ $2$ 物体で $e=0.50$ とします。運動量保存と係数の定義を組み合わせれば、$2$ つの速度が同時に出る^[2]。

$$\begin{array}{rl}2.0\times 6.0& =2.0v_1^{\prime }+3.0v_2^{\prime }\\ v_2^{\prime }-v_1^{\prime }& =0.50\times 6.0\end{array}$$

$2$ 本目から $v_2^{\prime }=v_1^{\prime }+3.0$ が出るので、$1$ 本目へ入れる。

$$12=2.0v_1^{\prime }+3.0(v_1^{\prime }+3.0)⟹v_1^{\prime }=0.60m/s$$

$v_2^{\prime }$ のほうは $3.6m/s$ になる。ぶつけた側も同じ向きに進み続けますが、ずいぶん遅くなっている。

エネルギーは $36\mathrm{J}$ から $19.8\mathrm{J}$ へ減りました。$e$ が $0$ と $1$ のあいだなので、減り方も中間になる。

例：弾性衝突

$e=1$ にすると、$v_2^{\prime }-v_1^{\prime }=6.0$ になる。同じ手順で解きます。

$$v_1^{\prime }=-1.2m/s,v_2^{\prime }=4.8m/s$$

ぶつけた側がはね返されました。軽いほうが重いほうに当たると、こうなる。

エネルギーを数えると $1.44+34.56$ で $36\mathrm{J}$ になる。前と同じ値で、まったく減っていません。

例：床ではねる高さ

床との衝突では、床が動かないので式が簡単になります。落ちる直前の速さと、はね上がる直後の速さの比が $e$。

速さは高さの平方根に比例するので、係数は高さの比の平方根で出る^[3]。

$$e=\sqrt{\frac{h^{\prime }}{h}}$$

$1.0\mathrm{m}$ から落として $0.64\mathrm{m}$ まではね上がれば $e=0.80$ です。逆にはね上がる高さは $e^{2}h$ で求まる。

$n$ 回はねたあとの高さは $e^{2n}h$ になる^[4]。$e=0.80$ で $3$ 回なら $0.80^6$ を掛けて $0.26\mathrm{m}$ まで落ちる。

実際の値

落として測ると、球ごとに違う値が出る^[3]。

同じ球でも、当てる床が変われば値は変わります。$e$ は球だけの性質ではなく、$2$ つの物体の組み合わせで決まります。

例：斜めに床へ当てる

速さ $10m/s$ の球が、床の法線から $30$ 度の向きで当たります。$e=0.50$。

床に平行な成分は変わりません^[1]。$e$ が掛かるのは垂直な成分だけになる。

$$\begin{array}{rl}{v}_{\perp }^{\prime }& =0.50\times 10\cos 30^{\circ }=4.3m/s\\ v_{\parallel }^{\prime }& =10\sin 30^{\circ }=5.0m/s\end{array}$$

はね返ったあとの速さは、$2$ 成分から出る。

$$v^{\prime }=\sqrt{4.3^2+5.0^2}=6.6m/s$$

法線からの角は $\arctan (5.0/4.3)$ で $49$ 度になる。入射の $30$ 度より寝た向きへ出ていきます。

例：両方が動いている衝突

$2.0\mathrm{kg}$ が右へ $5.0m/s$、$3.0\mathrm{kg}$ が左へ $2.0m/s$。右向きを正として $e=0.60$ で解きます。

運動量は $2.0\times 5.0+3.0\times (-2.0)$ で $4.0\mathrm{kg}m/s$。近づく速さは $5.0-(-2.0)$ で $7.0m/s$ です。

$$\begin{array}{rl}4.0& =2.0v_1^{\prime }+3.0v_2^{\prime }\\ v_2^{\prime }-v_1^{\prime }& =0.60\times 7.0=4.2\end{array}$$

解くと $v_1^{\prime }=-1.7m/s$、$v_2^{\prime }=2.5m/s$ が出ます。どちらも向きが入れかわった。

エネルギーは $31\mathrm{J}$ から $12\mathrm{J}$ へ落ちています。近づく速さが大きいほど、失う量も大きくなる。

検算のしかた

衝突の問題には、答えを確かめる手が $4$ つあります。どれも数秒で済むので、解いたら通しておく。

$4$ つめは見落としやすい。速度を出したあと、$2$ 球の位置関係が成り立つかまで見る人は少ないためです。

係数から速さを読む

参考文献