鉛直面内の円運動｜糸と棒の違いと最高点で必要な速さ

糸につけた球を、鉛直な面の中で回します。速ければ 1 周し、遅いと最高点の手前で糸がたるんで、球はそこから落ちる。

境目は、半径 $1.0\mathrm{m}$ なら最下点で $7.0m/s$ です。糸を軽い棒に替えると、$6.3m/s$ まで下がります。

あいだの $6.5m/s$ は、糸ではたるみ、棒では回りきる速さ。

最高点で糸がたるまない速さ

最高点の球は、支えがなければ真下へ落ちます。円をなぞって進むというのは、落ちる分と円の下がる分が合っているということ。

物が落ちる距離は $0.1$ 秒で $4.9\mathrm{cm}$。半径 $1.0\mathrm{m}$ の円では、最高点から横へ $31\mathrm{cm}$ 進むあいだに、円のほうも $4.9\mathrm{cm}$ 下がります。$31\mathrm{cm}$ を $0.1$ 秒で進む速さが $3.1m/s$。

これより遅いと、球は円が下がる分より多く落ちます。内側へ入った球を、糸は押し戻せない。そこでたるみます。

同じ条件を力で書き直す。最高点では重力も張力も真下を向き、どちらも円の中心へ向かうため、2 つの和が向心力になります。

$$mg+T=\frac{m{v}^2}{r}$$

糸が出せるのは引く力だけで、$T$ は負になれません。$T=0$ を入れると、最高点を通れる最小の速さが決まる。

$$v_{\text{top}}=\sqrt{gr}$$

質量が消えました。半径 $1.0\mathrm{m}$ なら $3.1m/s$ で、球の重さを変えても値は動かない。

$T=0$ のとき、球を曲げているのは重力だけです。糸は張っていても、引く力を伝えていない。

最下点の速さはエネルギー保存でつなぐ

最高点は最下点より $2r$ だけ高い位置にあります。摩擦がなければ力学的エネルギーが保存され、2 点の速さが結びつく。

$$\frac{1}{2}m{v}_{\text{b}}^2=\frac{1}{2}m{v}_{\text{top}}^2+mg\cdot 2r$$

両辺を $\frac{1}{2}m$ で割ると $v_{\text{b}}^2=v_{\text{top}}^2+4gr$ になります。ここへ $v_{\text{top}}^2=gr$ を入れる。

$$v_{\text{b}}=\sqrt{5gr}$$

半径 $1.0\mathrm{m}$ なら $7.0m/s$ です。最高点の $3.1m/s$ に対して 2 倍を超える。

円筒の内側を滑らせるときも同じです。面が出せるのは中心へ向かって押す力だけで、$N\ge 0$ は糸の $T\ge 0$ と同じ形になる。最高点より $\frac{r}{2}$ だけ高いところから静かに離せば、ちょうど $\sqrt{gr}$ で最高点に着きます。

張力は最下点の $6mg$ から最高点の $0$ まで変わる

最下点から測った角を $\phi$ とします。中心へ向かう向きを正にとると、重力の成分は $-mg\cos \phi$ になる。

$$T-mg\cos \phi =\frac{m{v}^2}{r}$$

エネルギー保存から $v^2=v_{\text{b}}^2-2gr(1-\cos \phi )$ なので、これを入れて整理します。

$$T=\frac{m{v}_{\text{b}}^2}{r}-2mg+3mg\cos \phi$$

ぎりぎりの $v_{\text{b}}^2=5gr$ を入れると、$3mg$ でくくれる形になる。

$$T=3mg(1+\cos \phi )$$

最下点で $6mg$、真横で $3mg$、最高点で $0$。$0.20\mathrm{kg}$ の球なら、最下点の張力は $11.8\mathrm{N}$ です。

足りないと 2 通りに分かれる

最下点の速さが $\sqrt{5gr}$ に届かないとき、行き先は 2 つに分かれる。境目は $\sqrt{2gr}$ で、半径 $1.0\mathrm{m}$ なら $4.4m/s$。

$v_{\text{b}}$ がこれ以下なら、球は真横より下で止まります。止まった位置でも $T$ は正のままで、糸は張ったまま。そこから振り子として戻る。

超えたときは、$T=0$ になる角度でたるみます。さきほどの $T$ の式を $0$ と置いた形。

$$\cos \phi =\frac{2-v_{\text{b}}^2/(gr)}{3}$$

$v_{\text{b}}=6.0m/s$ を入れると $\cos \phi =-0.56$ で、$\phi$ はおよそ $124$ 度。真横を過ぎたところでたるみ、そこからは投げ上げられた物体として飛びます。

棒とレールは押す力も出せる

糸を軽い棒に替えると、支える側は押す力も出せます。最高点で速さが足りなくても、棒が下から支えて円をなぞらせる。

残るのは、最高点まで登りきるという条件です。$v_{\text{top}}>0$ を $v_{\text{b}}^2=v_{\text{top}}^2+4gr$ に入れる。

$$v_{\text{b}}>2\sqrt{gr}$$

半径 $1.0\mathrm{m}$ なら $6.3m/s$ を超えれば足ります。糸の $7.0m/s$ より小さい値。

ジェットコースターの車輪は、レールを上下と横から挟む形についている。浮き上がる向きにも力を出せるため、棒と同じ側に入る。

輪が円でないのはなぜか

最高点の向心加速度を $a_0$ とすると、真横では $a_0+2g$、最下点では $a_0+4g$ になります^[1]。高さが $r$ 下がるごとに $v^2$ が $2gr$ ずつ増えるためです。

ぎりぎりの速さでは $a_0=g$ だから、最下点の向心加速度は $5g$。重力のぶんが加わって、座席が支える力は体重の 6 倍になります。糸で求めた $6mg$ と同じ値。

この 6 倍は体への負担が大きく、実際の輪は円のままでは作られていません^[2]。入口の半径を大きくとり、上へ行くほど小さくしていくと、入口と出口の向心加速度がおよそ $4g$ まで下がる^[2]。

曲率半径が弧の長さに反比例する曲線をクロソイドといい、多くの輪はクロソイドと半円をつないだ形をしています^[2]。横から見ると、涙のしずくを逆さにした輪郭になる。

外側を回ると条件が逆になる

球面の外側では、面は押すことしかできません。内側とは向きが逆で、速いほど離れやすくなる。

半径 $r$ のドームの頂上から、球が静かに滑り出したとします。頂上から測った角を $\alpha$ とすると、面から離れるまでは次の式が成り立つ。

$$mg\cos \alpha -N=\frac{m{v}^2}{r}$$

エネルギー保存の $v^2=2gr(1-\cos \alpha )$ を入れて、$N$ について解く。

$$N=mg(3\cos \alpha -2)$$

$N=0$ になるのは $\cos \alpha =\frac{2}{3}$ のときで、$\alpha$ はおよそ $48$ 度です。式に $r$ が入っていないため、ドームの大小によらず同じ角度で離れる。

摩擦があると、離れる角度は摩擦係数によって変わります^[3]。

内側では速さが足りないと離れ、外側では速すぎると離れる。どちらも、支える側が片方の向きにしか力を出せないためです。

参考