ロケットの推進を運動量保存と可変質量から考える

$1920$ 年のニューヨーク・タイムズは、ロケット研究者のゴダードを社説で嘲笑しました。真空では押し返す相手がないので、宇宙では進めないはずだ、という理屈です^[3]。

この理屈は誤っていた。ロケットが押しているのは空気ではなく、自分が捨てる燃料のガスです。同紙は $49$ 年後、アポロ $11$ 号が月へ向かう最中に訂正を出しています^[3]。

押す相手は自分の一部

閉じた系の運動量は変わりません。ロケットとガスをひとまとめに見れば、噴射の前後で合計は同じ。

ガスを後ろへ送り出せば、その運動量と釣り合うだけの運動量が前向きに残る。外に相手は要りません。

作用反作用で言いかえても同じになる。ガスを押した力の反作用が、ロケットを押す。空気は最初から関係していません。

速さの増え方は質量の減り方で決まる

質量 $m$ のロケットが、短い時間に $-dm$ だけのガスを、自分に対して速さ $u$ で後ろへ捨てるとします。運動量の釣り合いから次の関係が出る^[1]。

$$mdv=-udm$$

移項して積分します。$1/m$ の積分が対数になるので、答えにも対数が現れる^[2]。

$$\Delta v=u\ln \frac{m_0}{m_1}$$

ツィオルコフスキーが $1903$ 年に導いた式です^[2]。$m_0$ は燃料込みの質量で、$m_1$ が燃え尽きたあとの質量にあたる。

効くのは差ではなく比になる。しかも対数なので、比を $2$ 倍にしても得られる速さは $2$ 倍になりません。

例：質量比 10 のロケット

液体水素と液体酸素の組み合わせでは、有効な排気速度が $3.4km/s$ ほどになります^[1]。

質量比を $10$、つまり全体の $9$ 割を燃料にすると、次の値が出る。

$$\Delta v=3.4\times \ln 10=3.4\times 2.30=7.8km/s$$

第一宇宙速度にほぼ届きました^[1]。ただし実際の打ち上げでは、重力に逆らって登るぶんと空気抵抗のぶんが余分に要ります。

必要な $\Delta v$ は $9$ から $10km/s$ に上がる。質量比 $10$ の $1$ 段では足りません。

段を切り離すと比が改善する

対数のせいで、燃料を増やしても速さは伸び悩みます。空になったタンクを積んだまま飛べば、その重さが最後まで分母に残るから。

そこで燃え尽きた段を捨てます^[2]。捨てた瞬間に $m_1$ が小さくなり、次の段では新しい質量比で計算をやり直せる。

排気速度 $3.0km/s$ で $2$ 段に分けた例を見ます^[2]。

$$\begin{array}{rl}\Delta v_1& =3.0\ln \frac{123000}{32000}=4.0km/s\\ \Delta v_2& =3.0\ln \frac{25500}{4500}=5.2km/s\end{array}$$

合計で $9.2km/s$ です。同じ質量を $1$ 段で飛ばすと $7.0km/s$ にしかならず、同じ性能を出すには質量比 $21$ 以上が必要になる^[2]。

作れる構造には限りがある。多段式が使われるのは、$1$ 段では比を稼げないためです。

推力は 1 秒あたりに捨てる質量で決まる

式を時間で見ると、推力が出てきます^[1]。$1$ 秒あたりに捨てる質量を $\dot{m}$ と書く。

$$F=u\dot{m}$$

排気速度が同じなら、勢いよく捨てるほど強く押されます。$3.0km/s$ で毎秒 $2000\mathrm{kg}$ を出せば、推力は $6.0\times 10^6\mathrm{N}$ になる。

例：離陸できるかどうか

質量 $5.0\times 10^5\mathrm{kg}$ のロケットにかかる重力は $4.9\times 10^6\mathrm{N}$ です。推力のほうが大きいので浮き上がる。

$$a=\frac{6.0\times 10^6-4.9\times 10^6}{5.0\times 10^5}=2.2m/{\mathrm{s}}^2$$

打ち上げ直後の加速度は小さくなる。燃料が減って質量が落ちるにつれ、同じ推力でも加速度は増えていきます。

推力が重力より小さければ、いくら噴射しても上がりません。飛行機と違って揚力に頼れないので、この条件は最初から満たしておく必要がある。

大気の中では空気抵抗が邪魔になるので、ロケットにとって空気はむしろ損になります。高いところまで登ってから加速するのは、そのぶんを避けるため。

燃料を 2 倍にすると

出典