2 球の弾性衝突：直角に開く条件と 2 つの保存則

一直線上の衝突なら、速度に符号を付けて足し引きすれば済みます。平面ではそうはいきません。運動量はベクトルなので、向きまで含めて保存される。

扱い方は決まっています。$x$ 方向と $y$ 方向に分け、それぞれで別々に保存則を立てる^[1]。

$$\begin{array}{rl}{m}_1{v}_{1x}+m_2{v}_{2x}& =m_1{v}_{1x}^{\prime }+m_2{v}_{2x}^{\prime }\\ m_1{v}_{1y}+m_2{v}_{2y}& =m_1{v}_{1y}^{\prime }+m_2{v}_{2y}^{\prime }\end{array}$$

$2$ 本の式が立つので、一直線上のときより解ける未知数が増えます。

成分に分けてよい理由

衝突のあいだに働く力は、$2$ 物体の間の作用と反作用だけです。外から力が加わらなければ、合計の運動量は変わらない^[2]。

ベクトルとして保存されるということは、どの向きに射影しても保存されるということ。だから $x$ 成分だけ見ても、$y$ 成分だけ見ても等式が成り立ちます。

向きの選び方は自由です。計算が楽になるように、初速度の向きを $x$ 軸にとるのがふつう。

例：直交する 2 台が合体する

質量 $1000\mathrm{kg}$ の車が東へ $20m/s$、質量 $1500\mathrm{kg}$ の車が北へ $15m/s$ で進み、ぶつかって一体になります。

東向きを $x$、北向きを $y$ にとると、衝突前の運動量は次のようになる。

$$\begin{array}{rl}{p}_x& =1000\times 20=2.0\times 10^4\mathrm{kg}m/s\\ p_y& =1500\times 15=2.25\times 10^4\mathrm{kg}m/s\end{array}$$

合体後の質量は $2500\mathrm{kg}$ です。それぞれの成分を質量で割る。

$$v_x=\frac{2.0\times 10^4}{2500}=8.0m/s,v_y=\frac{2.25\times 10^4}{2500}=9.0m/s$$

速さは $\sqrt{8.0^2+9.0^2}=12m/s$、向きは東から北へ $48$ 度傾いた方向になります。

運動エネルギーは減っています。衝突前は $3.7\times 10^5\mathrm{J}$、あとは $1.8\times 10^5\mathrm{J}$ で、半分ほどが変形と熱へ移る。

同じ質量の弾性衝突では 90 度に開く

止まっている球へ、同じ質量の球を正面からずらして当てます。弾性衝突なら、$2$ 球は必ず直角に開く^[1]。

運動量保存から、質量が共通なので約分できる。

$$\vec{v}={\vec{v}}_1^{\prime }+{\vec{v}}_2^{\prime }$$

弾性衝突なので運動エネルギーも保存されます。こちらも $\frac{1}{2}m$ が共通で消える。

$$v^2=v_1^{\prime 2}+v_2^{\prime 2}$$

$1$ つめの式を $2$ 乗すると、内積の項が出てきます。

$$v^2=v_1^{\prime 2}+2{\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }+v_2^{\prime 2}$$

$2$ つの式を見比べると、残るのは内積だけ。

$${\vec{v}}_1^{\prime }\cdot {\vec{v}}_2^{\prime }=0$$

内積が $0$ ということは、$2$ つの速度が直角を向いているということです^[3]。三平方の定理の逆を、そのままベクトルで書いた形になる。

開く向きは当て方で決まる

開き角が $90$ 度に固定されていても、それぞれの向きは自由に選べます。決めるのは、手球の中心を的球の中心からどれだけずらして当てるか。

的球は、接触した瞬間の中心どうしを結んだ線の向きへ飛びます。この向きが $\theta$ なら、手球はそこから $90$ 度だけ回った向きへ動く。

速さもこの角で決まります^[3]。

$$v_2^{\prime }=v\cos \theta ,v_1^{\prime }=v\sin \theta$$

まっすぐ当てれば $\theta =0$ で、手球は止まり的球が全部の速度を受けとる。ずらすほど手球に速度が残ります。

例：30 度にそれた手球

速さ $2.0m/s$ の手球が、静止した同じ質量の球に当たり、進む向きから $30$ 度それました。

開き角が $90$ 度なので、的球は反対側へ $60$ 度の向きへ進みます。速さは角の余弦で出る。

$$v_1^{\prime }=2.0\cos 30^{\circ }=1.7m/s,v_2^{\prime }=2.0\cos 60^{\circ }=1.0m/s$$

検算しておきます。$1.7^2+1.0^2=3.9$ で、$2.0^2=4.0$ とほぼ一致する。

丸めの誤差ぶんだけずれますが、エネルギーが保存されていることが確かめられました。

90 度に開かない場合もある

この結果が出るのは、条件がそろったときだけです。$3$ つとも欠かせない。

まっすぐ正面から当てた場合も例外になります。手球が止まってしまい、向きが決まらないので角そのものが定義できない。

実際のビリヤードでは回転と摩擦が効くため、$90$ 度からわずかにずれます。それでも近い値になるのは、球どうしの衝突が弾性衝突に近いから。

壁への斜めの衝突

相手が動かない壁のときは、速度を壁に垂直な成分と平行な成分に分けます^[4]。

平行な成分は変わりません。垂直な成分だけが向きを変え、はねかえり係数 $e$ が掛かる。

$$\begin{array}{rl}{v}_{\parallel }^{\prime }& =v_{\parallel }\\ v_{\perp }^{\prime }& =-e{v}_{\perp }\end{array}$$

$e=1$ なら入射角と反射角が等しくなります^[4]。光の反射と同じ形になる。

例：はねかえり係数 0.50 の壁

法線から $60$ 度の向きで壁に当たる球を考える。垂直成分は $v\cos 60^{\circ }$、平行成分は $v\sin 60^{\circ }$ です。

反射後の角は、$2$ 成分の比で決まります。

$$\tan {\theta }^{\prime }=\frac{v\sin 60^{\circ }}{0.50v\cos 60^{\circ }}=\frac{\tan 60^{\circ }}{0.50}=3.5$$

${\theta }^{\prime }=74$ 度になります。垂直成分だけが弱まるので、反射角は入射角より大きくなる。

開く角はどこで決まるか

開き角が決まっていると、片方の向きが分かればもう片方も決まります。速さのほうも角から出る。

つまずきやすいところ

参考文献