2 球の弾性衝突：直角に開く条件と 2 つの保存則

一直線上の衝突なら、速度に符号を付けて足し引きすれば済みます。平面ではそうはいきません。運動量はベクトルなので、向きまで含めて保存される。

扱い方は決まっています。 $x$ 方向と $y$ 方向に分け、それぞれで別々に保存則を立てる^[1]。

$m_{1} v_{1 x} + m_{2} v_{2 x} m_{1} v_{1 y} + m_{2} v_{2 y} = m_{1} v_{1 x}^{'} + m_{2} v_{2 x}^{'} = m_{1} v_{1 y}^{'} + m_{2} v_{2 y}^{'}$

$2$ 本の式が立つので、一直線上のときより解ける未知数が増えます。

成分に分けてよい理由

衝突のあいだに働く力は、 $2$ 物体の間の作用と反作用だけです。外から力が加わらなければ、合計の運動量は変わらない^[2]。

ベクトルとして保存されるということは、どの向きに射影しても保存されるということ。だから $x$ 成分だけ見ても、 $y$ 成分だけ見ても等式が成り立ちます。

向きの選び方は自由です。計算が楽になるように、初速度の向きを $x$ 軸にとるのがふつう。

例：直交する 2 台が合体する

質量 $1000 kg$ の車が東へ $20 m/s$ 、質量 $1500 kg$ の車が北へ $15 m/s$ で進み、ぶつかって一体になります。

東向きを $x$ 、北向きを $y$ にとると、衝突前の運動量は次のようになる。

$p_{x} p_{y} = 1000 \times 20 = 2.0 \times 1 0^{4} kg m/s = 1500 \times 15 = 2.25 \times 1 0^{4} kg m/s$

合体後の質量は $2500 kg$ です。それぞれの成分を質量で割る。

$v_{x} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{4}}{2500} = 8.0 m/s, v_{y} = \frac{2.25 \times 1 0 ^{4}}{2500} = 9.0 m/s$

速さは $8. 0^{2} + 9. 0^{2} = 12 m/s$ 、向きは東から北へ $48$ 度傾いた方向になります。

運動エネルギーは減っています。衝突前は $3.7 \times 1 0^{5} J$ 、あとは $1.8 \times 1 0^{5} J$ で、半分ほどが変形と熱へ移る。

同じ質量の弾性衝突では 90 度に開く

止まっている球へ、同じ質量の球を正面からずらして当てます。弾性衝突なら、 $2$ 球は必ず直角に開く^[1]。

運動量保存から、質量が共通なので約分できる。

$v = v_{1}^{'} + v_{2}^{'}$

弾性衝突なので運動エネルギーも保存されます。こちらも $\frac{1}{2} m$ が共通で消える。

$v^{2} = v_{1}^{'2} + v_{2}^{'2}$

$1$ つめの式を $2$ 乗すると、内積の項が出てきます。

$v^{2} = v_{1}^{'2} + 2 v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'} + v_{2}^{'2}$

$2$ つの式を見比べると、残るのは内積だけ。

$v_{1}^{'} \cdot v_{2}^{'} = 0$

内積が $0$ ということは、 $2$ つの速度が直角を向いているということです^[3]。三平方の定理の逆を、そのままベクトルで書いた形になる。

開く向きは当て方で決まる

開き角が $90$ 度に固定されていても、それぞれの向きは自由に選べます。決めるのは、手球の中心を的球の中心からどれだけずらして当てるか。

的球は、接触した瞬間の中心どうしを結んだ線の向きへ飛びます。この向きが $θ$ なら、手球はそこから $90$ 度だけ回った向きへ動く。

速さもこの角で決まります^[3]。

$v_{2}^{'} = v cos θ, v_{1}^{'} = v sin θ$

まっすぐ当てれば $θ = 0$ で、手球は止まり的球が全部の速度を受けとる。ずらすほど手球に速度が残ります。

例：30 度にそれた手球

速さ $2.0 m/s$ の手球が、静止した同じ質量の球に当たり、進む向きから $30$ 度それました。

開き角が $90$ 度なので、的球は反対側へ $60$ 度の向きへ進みます。速さは角の余弦で出る。

$v_{1}^{'} = 2.0 cos 3 0^{\circ} = 1.7 m/s, v_{2}^{'} = 2.0 cos 6 0^{\circ} = 1.0 m/s$

検算しておきます。 $1. 7^{2} + 1. 0^{2} = 3.9$ で、 $2. 0^{2} = 4.0$ とほぼ一致する。

丸めの誤差ぶんだけずれますが、エネルギーが保存されていることが確かめられました。

90 度に開かない場合もある

この結果が出るのは、条件がそろったときだけです。 $3$ つとも欠かせない。

2

球の質量が等しいこと。違えば角は

90

度からずれます。

弾性衝突であること。エネルギーが減れば角は

90

度より小さくなります。

片方が静止していること。両方が動いていると成り立ちません。

まっすぐ正面から当てた場合も例外になります。手球が止まってしまい、向きが決まらないので角そのものが定義できない。

実際のビリヤードでは回転と摩擦が効くため、 $90$ 度からわずかにずれます。それでも近い値になるのは、球どうしの衝突が弾性衝突に近いから。

壁への斜めの衝突

相手が動かない壁のときは、速度を壁に垂直な成分と平行な成分に分けます^[4]。

平行な成分は変わりません。垂直な成分だけが向きを変え、はねかえり係数 $e$ が掛かる。

$v_{∥}^{'} v_{⊥}^{'} = v_{∥} = - e v_{⊥}$

$e = 1$ なら入射角と反射角が等しくなります^[4]。光の反射と同じ形になる。

例：はねかえり係数 0.50 の壁

法線から $60$ 度の向きで壁に当たる球を考える。垂直成分は $v cos 6 0^{\circ}$ 、平行成分は $v sin 6 0^{\circ}$ です。

反射後の角は、 $2$ 成分の比で決まります。

$tan θ^{'} = \frac{v sin 6 0 ^{\circ}}{0.50 v cos 6 0 ^{\circ}} = \frac{tan 6 0 ^{\circ}}{0.50} = 3.5$

$θ^{'} = 74$ 度になります。垂直成分だけが弱まるので、反射角は入射角より大きくなる。

衝突で速度が変わるのは、短い時間に大きな力がはたらくためです。この力を撃力といい、向きは接触面に垂直になります。

きわめて短時間だけ働く大きな力。大きさより、力積として時間で積分した値のほうが意味を持つ。

開く角はどこで決まるか

開き角が決まっていると、片方の向きが分かればもう片方も決まります。速さのほうも角から出る。

質量が等しい $2$ 球の弾性衝突で、静止していた的球が手球の進行方向から $40$ 度の向きへ飛び出しました。手球は最初の速さの何倍で進みますか。

$cos 4 0^{\circ}$ 倍
$sin 4 0^{\circ}$ 倍
$tan 4 0^{\circ}$ 倍
$1 - cos 4 0^{\circ}$ 倍

__RESULT__

開き角が $90$ 度なので、手球は進行方向から $50$ 度の向きへ進みます。速さは $v cos 5 0^{\circ}$ で、これは $v sin 4 0^{\circ}$ と同じ値。的球のほうが $v cos 4 0^{\circ}$ で、 $2$ つの $2$ 乗の和が $v^{2}$ になることも確かめられます。

つまずきやすいところ

質量が違っても

90

度に開くと思うと外します。等しいときだけの結果になる。

合体する衝突では運動エネルギーが減ります。変わらないのは運動量のほう。

的球が手球の進行方向へ飛ぶと考えると合いません。飛ぶ向きを決めるのは中心を結ぶ線。

壁への衝突で平行成分にも

e

を掛けると外れる。

e

が掛かるのは垂直成分だけです。

はねかえり係数が

1

未満なら、反射角は入射角より大きくなる。等しくなるのは

e = 1

のときに限られる。

参考文献

Collisions of Point Masses in Two Dimensions - College Physics 2e, OpenStax

Impulserhaltung in zwei Dimensionen - Universität Bremen, Physikalisches Praktikum

Physique des collisions - Femto-Physique

Schiefer elastischer Stoß - Lernhelfer

平面の衝突では、運動量を $x$ 成分と $y$ 成分に分けてそれぞれ保存させます。同じ質量で片方が静止した弾性衝突では、$\vec{v} = \vec{v}_1' + \vec{v}_2'$ と $v^2 = v_1'^2 + v_2'^2$ を見比べると内積が $0$ になり、$2$ 球は必ず直角に開く。的球が飛ぶ向きは中心を結ぶ線が決め、速さは $v\cos\theta$ と $v\sin\theta$ に分かれます。直交する車の合体で運動エネルギーが半分に減る計算、はねかえり係数 $0.50$ の壁で反射角が入射角より大きくなる計算まで。