重心系で見る弾性衝突〜速度が反転するだけになる見方

$3.0 kg$ の球が秒速 $4.0 m$ で、止まっている $1.0 kg$ の球に弾性衝突します。答えは秒速 $2.0 m$ と $6.0 m$ 。

公式に代入しても出ますが、覚える式が $2$ 本あって符号を間違えやすい。重心といっしょに動きながら見ると、式が要らなくなります。

その視点では、どちらの球も速度の向きが反転するだけ^[1]。大きさは変わりません。

弾性衝突は条件が 2 本

衝突では運動量がいつでも保存します。弾性衝突では、これに運動エネルギーの保存が加わる^[2]。

$m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{'2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{'2}$

未知数が $2$ つで式も $2$ 本なので解けます。ただし $2$ 本目が $2$ 乗を含むので、素直に解くと計算が重い。

$2$ 本目を $1$ 次の式に置きかえられます。整理すると、次の関係が出てくる^[2]。

$v_{1} - v_{2} = - (v_{1}^{'} - v_{2}^{'})$

近づく速さと遠ざかる速さが等しい、という意味です。相対速度は大きさが変わらず、符号だけが反転する。

重心はぶつかっても等速で動き続ける

$2$ 球をまとめて $1$ つの系と見ると、外から力がはたらいていません。だから重心は等速直線運動を続けます^[4]。

$V = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}$

例の値では $V = (3.0 \times 4.0) /4.0 = 3.0 m/s$ 。衝突の前も後も、この速さで動き続ける点があります。

その点といっしょに動く座標系を重心系といいます。この系では、 $2$ 球の運動量の和がいつでも $0$ です^[3]。

重心から見ると符号が変わるだけ

重心系での速度を $u = v - V$ と書きます。運動量の和が $0$ なので、 $2$ 球は必ず反対向きに動いている。

衝突後も運動量の和は $0$ 、運動エネルギーの和も変わりません。この $2$ つを同時に満たすのは、両方の速さがそのままで向きだけが逆になる場合だけです^[1]。

$u_{1}^{'} = - u_{1}, u_{2}^{'} = - u_{2}$

すり抜けて何も起きない場合を除けば、これしか残りません。弾性衝突の中身は、重心系で見れば向きの反転だけです。

重心の速度 V を引いて重心系へ移る

両方の速度の符号を反転させる

V を足して地上の系へ戻す

例：3 kg と 1 kg で試す

$V = 3.0 m/s$ を引きます。重心系での速度は $u_{1} = 4.0 - 3.0 = 1.0$ 、 $u_{2} = 0 - 3.0 = - 3.0$ 。

符号を反転させて $u_{1}^{'} = - 1.0$ 、 $u_{2}^{'} = 3.0$ 。ここへ $V$ を足して戻します。

$v_{1}^{'} v_{2}^{'} = - 1.0 + 3.0 = 2.0 m/s = 3.0 + 3.0 = 6.0 m/s$

引き算、符号の反転、足し算。 $2$ 乗はどこにも出てきません。

公式で書くとこうなる

同じ手順を文字のまま進めると、教科書の公式が出ます^[2]。

$v_{1}^{'} v_{2}^{'} = \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{1} + \frac{2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{2} = \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} v_{1} - \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}} v_{2}$

$m_{1} = 3$ 、 $m_{2} = 1$ 、 $v_{1} = 4$ 、 $v_{2} = 0$ を入れると、 $v_{1}^{'} = 2.0$ 、 $v_{2}^{'} = 6.0$ 。先ほどと一致します。

覚えておくなら公式より手順のほうが軽い。符号の入れ替わりで迷う場所がなくなります。

極端な場合を読む

質量の比を変えると、公式の意味が見えてきます^[2]。

質量が等しいとき

$m_{1} = m_{2}$ なら $v_{1}^{'} = v_{2}$ 、 $v_{2}^{'} = v_{1}$ 。速度がそっくり入れかわる。止まっている球に当てれば、当てた球が止まる

軽い球が重い球に当たるとき

$m_{1} ≪ m_{2}$ なら $v_{1}^{'} ≒ - v_{1}$ 。壁ではね返るのと同じで、相手はほとんど動かない

重い球が軽い球に当たるとき

$m_{1} ≫ m_{2}$ なら $v_{2}^{'} ≒ 2 v_{1}$ 。当てた側はほぼ減速せず、当てられた側が $2$ 倍の速さで飛ぶ

ビリヤードで手球と的球の質量が等しいのは、 $1$ 本目の場合にあたります。まっすぐ当てれば手球はその場に止まる。

例：中性子をどう遅くするか

原子炉では、生まれたばかりの速い中性子を減速させます。 $1$ 回の衝突で相手に渡せるエネルギーの割合は、質量の比で決まる。

$\frac{4 m _{1} m _{2}}{( m _{1} + m _{2} ) ^{2}}$

中性子と水素の原子核は質量がほぼ等しいので、この値が $1$ 。 $1$ 回の正面衝突で全部渡せます。

炭素なら $0.28$ 、鉛では $0.02$ しかありません。減速材に水や黒鉛を使い、鉛を使わない理由がこの式にあります。

質量の近いものどうしのほうがよく効く。重い相手にぶつけても、はね返ってくるだけでエネルギーが移りません。

エネルギーは 2 つに分かれる

系の運動エネルギーは、重心の動きぶんと、重心から見た動きぶんに分かれます^[3]。

$K = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2} + \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$

$μ$ は $2$ 体をまとめて $1$ 体に読み替えるときの質量です。 $1$ 項目は重心の運動で、衝突では変わりません。

例の値で計算します。 $V = 3.0$ 、 $μ = 0.75$ 、相対速度は $4.0$ 。

$\frac{1}{2} \times 4.0 \times 3. 0^{2} \frac{1}{2} \times 0.75 \times 4. 0^{2} = 18 J = 6.0 J$

合計 $24 J$ で、はじめの $\frac{1}{2} \times 3.0 \times 4. 0^{2}$ と一致しました。

衝突で失えるのは $2$ 項目だけです。完全に合体する衝突では $6.0 J$ が熱や変形に変わり、 $18 J$ は残る。運動量保存が $1$ 項目を守っているためです。

どんな衝突でも、重心の運動エネルギーは減りません。だから運動エネルギーがすべて失われる衝突は、重心が止まっている場合に限られます。

正面から同じ運動量でぶつかる $2$ 球なら $V = 0$ なので、全部を失って両方が止まれる。

検算のしかた

答えが出たら、 $2$ つを確かめます。運動量の和と、運動エネルギーの和です。

例では、前が $3.0 \times 4.0 = 12$ 、後が $3.0 \times 2.0 + 1.0 \times 6.0 = 12$ 。エネルギーは前が $24 J$ 、後が $6.0 + 18 = 24 J$ 。

もう一つ軽い確かめがあります。相対速度の符号が反転しているかどうか。前は $4.0 - 0 = 4.0$ 、後は $2.0 - 6.0 = - 4.0$ 。

この $3$ 番目は暗算で終わります。公式の符号をどこかで間違えていると、まずここで合わなくなる。

静止している質量 $m$ の球に、同じ質量 $m$ の球が速さ $v$ で弾性衝突します。衝突後の様子はどれですか。

当てた球が止まり、当てられた球が $v$ で動く
両方が $v /2$ で同じ向きに動く
当てた球が $- v$ ではね返る

__RESULT__

重心の速度は $v /2$ です。重心系では両球が $v /2$ で近づき、反転して $v /2$ で遠ざかる。地上へ戻すと $0$ と $v$ になります。

重心といっしょに動きながら見る。この乗り換えを覚えておくと、衝突の問題は引き算と符号の反転に化けます。

出典

Timon Idema. *4.8: Elastic Collisions in the COM Frame*/04:_Momentum/4.08:_Elastic_Collisions_in_the_COM_Frame). Mechanics and Relativity, TU Delft / Physics LibreTexts.

Richard Fitzpatrick. *Collisions in 1-dimension*. Classical Mechanics, University of Texas at Austin.

Jimmy Roussel. *Problème à deux corps*. Femto-Physique, cours de mécanique classique.

Bernhard Schnizer. *Systeme von Massenpunkten*. Analytische Mechanik, TU Graz.

3 kg の球が秒速 4 m で 1 kg の球に弾性衝突すると、答えは秒速 2 m と 6 m。公式に代入しても出ますが、符号で迷う場所が 2 か所あります。重心の速度を引いてから見ると、どちらの球も速さがそのままで向きだけが反転する。あとは重心の速度を足して戻すだけです。2 乗はどこにも出てきません。等質量なら速度が入れかわること、原子炉の減速材に鉛を使わないこと、合体しても重心の運動エネルギーだけは残ることも、同じ見方から出てきます。