重心の求め方と運動〜投げた物体の重心が描く放物線

回転しながら飛ぶハンマーの軌跡は、目で追うと複雑です。柄の先も頭も、上がったり下がったりしながら進む。

それでも $1$ 点だけは、きれいな放物線を描きます^[2]。その点が重心で、物体を $1$ 個の粒子として扱ってよい場所になる。

重心は質量で重みをつけた平均の位置

質点がいくつかあるとき、重心の位置は次の式で決まります^[3]。

$$x_G=\frac{\sum m_i{x}_i}{\sum m_i}$$

ふつうの平均は全部を同じ重みで足しますが、こちらは質量を重みにする。重い質点のほうへ寄った位置になります。

$y$ 方向も $z$ 方向も同じ形の式で出る。向きごとに独立して計算できます。

例：2 つのおもりの重心

$x=0$ に $2.0\mathrm{kg}$、$x=1.0\mathrm{m}$ に $3.0\mathrm{kg}$ を置きます。

$$x_G=\frac{2.0\times 0+3.0\times 1.0}{2.0+3.0}=0.60\mathrm{m}$$

真ん中の $0.50\mathrm{m}$ ではなく、重いほうへ $0.10\mathrm{m}$ 寄りました。距離の比は $0.60$ 対 $0.40$ で、質量の比の逆になっている。

てこのつり合いと同じ形になります。重心は、支えたときにつり合う点でもある。

複雑な形は分けて足す

一様な板なら、質量のかわりに面積を重みにできます。板を長方形や三角形に切り分け、それぞれの重心を出して足し合わせる^[1]。

例：L 字の板の重心

横 $6\mathrm{cm}$、縦 $2\mathrm{cm}$ の部分と、横 $2\mathrm{cm}$、縦 $4\mathrm{cm}$ の部分に分けます。面積は $12$ と $8$。

左下を原点にとると、それぞれの重心は $(3,1)$ と $(1,4)$ になる。

$$\begin{array}{rl}{x}_G& =\frac{12\times 3+8\times 1}{12+8}=2.2\mathrm{cm}\\ y_G& =\frac{12\times 1+8\times 4}{12+8}=2.2\mathrm{cm}\end{array}$$

重心は $(2.2,2.2)$ です。この点は板の外にある。L 字やドーナツのように、重心が物体の内部にない形はふつうにあります。

穴があいた板は引き算で出す

切り抜いた部分を、負の質量を持つ図形として足します^[1]。分けて足すのと同じ式が使え、符号だけが変わる。

$1$ 辺 $6\mathrm{cm}$ の正方形から、右上の $1$ 辺 $2\mathrm{cm}$ の正方形を切り抜いた板を考えます。

もとの正方形は面積 $36$ で重心は $(3,3)$、切り抜いた部分は面積 $4$ で重心は $(5,5)$。

$$x_G=\frac{36\times 3-4\times 5}{36-4}=\frac{88}{32}=2.75\mathrm{cm}$$

$y_G$ も同じ計算で $2.75\mathrm{cm}$ になります。切り抜いたぶんだけ、重心が反対側へずれた。

重心が動くのは外から力が加わったときだけ

物体を細かい質点の集まりと見て、$1$ つずつ運動方程式を書いて足します。質点どうしが及ぼし合う力は、作用反作用で対になって消える^[3]。

残るのは外から加わった力だけです^[4]。その合計を $\vec{F}$ と書く。

$$M{\vec{a}}_G=\vec{F}$$

全質量が重心に集まった $1$ 個の粒子として扱ってよい、と読めます。これを重心の運動の法則という^[4]。

内部でどれだけ複雑に動いていても、重心の動きには効きません。回転していても、ばねで振動していても同じ。

空中で分裂しても重心は変わらない

打ち上げ花火が上空で開くとき、破片は四方へ飛び散ります。それでも破片全体の重心は、開く前と同じ放物線をたどる。

火薬が押し出す力は、破片どうしが及ぼし合う内力だからです^[4]。合計すると $0$ になり、重心には効きません。

外から加わっているのは重力だけになる。だから重心は、何ごともなかったように落ち続けます。

吊るして探す

計算しにくい形でも、実験なら重心を出せます^[2]。物体の $1$ 点を糸で吊るし、糸の延長線を書き込む。

別の点で吊るして同じ線を引くと、$2$ 本の線が交わります。その交点が重心にあたる。

吊るした物体が回らずに止まるのは、重力の作用線が支点を通っているときだけ。この条件が重心の位置を教えてくれます。

分裂したあとの重心

ばねや火薬が押し出す力は、系の内側でやりとりされるだけです。外からの力が加わらなければ、重心は何も起きていないかのようにふるまう。

つまずきやすいところ

参考文献