コリオリの力とフーコーの振り子：台風が渦を巻くしくみ

北半球の台風は、いつも反時計回りに渦を巻きます。南半球では時計回り。赤道の上では台風そのものができません。

向きを決めているのはコリオリの力です。地球が回っているために現れる見かけの力で、動いているものだけに働く^[2]。

回る円盤の上で投げてみる

回転する円盤の中心から、外へ向けてボールを転がします。地面に立って見ていれば、ボールはまっすぐ進む。

ところが円盤に乗っている人には、そう見えません。自分と床が回っているぶん、ボールが横へそれていくように見えます。

ボールには何もしていません。見ている側が回っているだけ。それでも、円盤の上で運動方程式を使いたければ、この曲がりを説明する力が要ります。

大きさは速さと角速度で決まる

その力がコリオリの力です。大きさは物体の速さと、座標系の回る角速度の両方に比例します^[2]。

$$F=2m\omega v$$

係数の $2$ は、$2$ つの効果が重なることから出ます。物体が外へ進むぶん円周の長さが変わる効果と、進む向きが回る効果^[2]。

向きは速度に垂直です。速さを変えず、向きだけを曲げる。仕事をしない点は向心力と同じになります。

地球では緯度が効く

地球の自転の角速度は、$1$ 日で $1$ 周ぶんです。恒星に対して $1$ 周する時間は $86164$ 秒なので、次の値になる。

$$\Omega =\frac{2\pi }{86164}=7.29\times 10^{-5}rad/s$$

ただし地表を水平に動く物体には、この全部が効くわけではありません。自転の軸は、その土地の鉛直方向とずれているからです。

効くのは自転ベクトルの鉛直成分だけ。緯度を $\phi$ とすると $\Omega \sin \phi$ になります^[4]。

$2\Omega \sin \phi$ をコリオリ係数といい、$f$ と書きます。水平に動く物体の加速度は $fv$ になる^[1]。

北半球では進行方向の右へ、南半球では左へそれます^[2]。赤道では $\sin \phi =0$ なので、そもそも働きません。

例：緯度 35 度で吹く風

$\sin 35^{\circ }=0.57$ を使います。

$$f=2\times 7.29\times 10^{-5}\times 0.57=8.4\times 10^{-5}{\mathrm{s}}^{-1}$$

$10m/s$ で動く空気なら、加速度は $8.4\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$ です。重力加速度の $1$ 万分の $1$ ほど。

$1$ 分では横へ $1.5\mathrm{m}$ しかずれません。ところが $1$ 時間では $5.4\mathrm{km}$ になります。時間の $2$ 乗で効くので、長く続く運動ほど無視できなくなる。

慣性円という円運動

ほかに力が働かなければ、コリオリの力だけで円運動になります。向心力が $mfv$ になる場合を解けばよい。

$$mfv=\frac{m{v}^2}{r}⟹r=\frac{v}{f}$$

$10m/s$ なら半径 $120\mathrm{km}$ です。周期は $2\pi /f$ で $21$ 時間ほどになります。

海の表層の流れに、この大きさの円が観測されます。慣性円と呼ばれる運動です。

台風が渦になる仕組み

低気圧の中心へ向かって、まわりから空気が吹き込みます。この空気が右へそれる。

まっすぐ中心へ入るはずの流れが、少しずつ右へ曲げられて、結果として中心のまわりを回る流れになります。北半球で反時計回りになるのはこのためです^[2]。

やがて気圧の差による力とコリオリの力がつり合い、等圧線に沿って流れるようになる。この状態の風を地衡風といいます。

赤道付近では $f$ が小さすぎて渦が作れません。台風が赤道上で発生しないのは、この理由によります。

フーコーの振り子

$1851$ 年、フーコーはパリのパンテオンに長さ $67\mathrm{m}$ の振り子を吊るしました^[4]。おもりは $28\mathrm{kg}$ の球です。

振り子の振動面は空間に対して向きを保ちます。地面のほうが下で回るので、床から見ると振動面が回って見える^[3]。

回る速さは緯度で決まります。$1$ 日あたり $360^{\circ }\times \sin \phi$ です^[1]。

パンテオンで観測された $1$ 時間あたり $11$ 度という値が、そのまま地球の自転の証拠になりました^[4]。天体を見なくても、室内の実験だけで自転が示せた点に意味があります。

洗面台の渦には効かない

排水口の渦の向きがコリオリの力で決まる、という話がありますが、これは正しくありません。

$f=8.4\times 10^{-5}{\mathrm{s}}^{-1}$ に対し、水が流れるのは数十秒です。そのあいだにコリオリの力が生む速度変化は、水面の傾きや容器の形が生む流れに比べてはるかに小さい。

効くかどうかは、運動が続く時間で決まります。台風は何日も続くので効き、洗面台は $1$ 分ももたないので効かない。

曲がる向きを確かめる

つまずきやすいところ

参考