加速したのに遅くなる - 衛星の軌道とエネルギー

衛星を進行方向へ加速すると、軌道は上がります。上がった先で測ると、加速する前より遅く回っている。

エネルギーは確かに増えているのに、速さは減る。円軌道のエネルギーの内訳を見ると、この食い違いの理由が出てきます。

円軌道の速さは半径だけで決まる

万有引力が向心力になる条件から、速さが出ます^[1]。

$v = \frac{GM}{r}$

半径が大きいほど遅い。高度 $400 km$ の国際宇宙ステーションは中心から $6.77 \times 1 0^{6} m$ で、 $7.67 km/s$ になります^[1]。

静止衛星は $4.22 \times 1 0^{7} m$ なので $3.07 km/s$ ^[4]。半径が $6$ 倍で、速さは半分以下に落ちる。

エネルギーの内訳

運動エネルギーは $v^{2} = GM / r$ を入れて出します。

$K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{GM m}{2 r}$

位置エネルギーは無限遠を基準にとった形。

$U = - \frac{GM m}{r}$

足すと、位置エネルギーのちょうど半分が打ち消されて残ります^[2]。

$E = K + U = - \frac{GM m}{2 r}$

$K$ は $U$ の大きさの半分、 $E$ は $K$ と同じ大きさで符号が逆。この $3$ つの関係が、円軌道ではつねに成り立ちます^[2]。

エネルギーが増えても速さは減る

半径を $r_{1}$ から $r_{2}$ へ広げると、全エネルギーは次のぶんだけ増えます。

$Δ E = \frac{GM m}{2} (\frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}}) > 0$

いっぽう $K = - E$ なので、運動エネルギーは同じ量だけ減る^[2]。位置エネルギーはその $2$ 倍増えています。

加えたエネルギーの $2$ 倍が高さに変わり、 $1$ 倍ぶんが速さから持ち出される。差し引きで $1$ 倍が増えた勘定になります。

加速したのに遅くなるのは、この配分のため。加速そのものは一瞬で、遅くなるのは上がりきったあとの話です。

空気抵抗でも同じことが起きる

低い軌道の衛星は、わずかな大気に押されてエネルギーを失います。ふつうの摩擦なら遅くなるはずのところ。

ところが実際には速くなる。エネルギーが減れば $r$ が小さくなり、 $K = - E$ が大きくなるからです。

この食い違いは衛星のパラドックスと呼ばれ、 $1950$ 年代から知られています。抵抗が仕事をした結果として、速さが増えるという形になる。

そして低いほど大気が濃いので、抵抗はさらに増える。落ち始めると加速度的に落ちていきます。

高い軌道へ移る

全エネルギーは増える。速さは減り、周期は延び、位置エネルギーが $2$ 倍のぶん増える

低い軌道へ落ちる

全エネルギーは減る。速さは増え、周期は縮み、位置エネルギーが $2$ 倍のぶん減る

軌道を上げる手順

半径 $r_{1}$ の円から半径 $r_{2}$ の円へ移るには、 $2$ 回の加速が要ります^[3]。ホーマン遷移といい、燃料がいちばん少なくて済む方法です。

$1$ 回目は出発する円軌道の上で行い、両方の円に接する楕円へ乗せる。 $2$ 回目は楕円の遠い側へ着いたところで行い、円に戻します。

途中の楕円では、半長軸が $2$ つの半径の平均になります^[3]。

$a = \frac{r _{1} + r _{2}}{2}$

$1$ 回目の加速だけで止めると、衛星は楕円を回り続けて出発点まで戻ってきます。円にするには、いちばん遠いところでもう一度加速する必要がある。

例：宇宙ステーションの高さから静止軌道へ

$r_{1} = 6.77 \times 1 0^{6} m$ から $r_{2} = 4.22 \times 1 0^{7} m$ へ移します。楕円の半長軸は $2.45 \times 1 0^{7} m$ 。

楕円の近い側での速さは $10.07 km/s$ なので、 $1$ 回目の加速はこの差になります。

$Δ v_{1} = 10.07 - 7.67 = 2.40 km/s$

遠い側まで来ると $1.62 km/s$ まで落ちています。ここで円にするには $3.07 km/s$ が要る。

$Δ v_{2} = 3.07 - 1.62 = 1.45 km/s$

合計で $3.85 km/s$ ^[4]。 $2$ 回とも加速しているのに、着いた先の速さは出発点より $4.6 km/s$ も遅くなっています。

移動にかかる時間は楕円の半周ぶんで、およそ $5.3$ 時間になる^[3]。

$2$ 回目の加速を省くと、衛星は遷移軌道を回り続けます。遠い側では高度が上がっていても、半周すればまた元の高さへ戻ってくる。

出発する円と目標の円の両方に接する楕円。近い側が出発点、遠い側が目標の高さになる。

追いつくには減速する

前を飛ぶ宇宙船に追いつきたいとき、加速すると追いつけません。軌道が上がって周期が延び、かえって遅れる。

いったん減速して低い軌道へ落ちると、周期が縮んで先に進みます。追い越してから加速して高度を戻す。

宇宙船のドッキングがこの手順を踏むのは、速さと軌道の高さが逆に効くためです。日常の追い越しとは、必要な操作が反対になる。

エネルギーと速さの向き

円軌道の衛星に、進行方向へ短く噴射して全エネルギーを増やしました。落ち着いた先の新しい円軌道について、正しいものはどれですか。

速さも周期も増える
速さは増え、周期は減る
速さは減り、周期は増える
速さは減り、周期も減る

__RESULT__

全エネルギーが増えると $E = - GM m / (2 r)$ から $r$ が大きくなります。 $v = GM / r$ は $r$ とともに減り、周期 $T = 2 π r^{3} / GM$ は増える。運動エネルギーは $K = - E$ なので、増やしたエネルギーと同じ量だけ減ります。

出典

Satellite Orbits and Energy - University Physics Volume 1, OpenStax/Book:_University_Physics_I_-_Mechanics_Sound_Oscillations_and_Waves_(OpenStax)/13:_Gravitation/13.05:_Satellite_Orbits_and_Energy)

Energy in a Circular Orbit - Boston University, Physics 211

Hohmann Transfer - Orbital Mechanics and Astrodynamics

Bahnen und Orbits von Satelliten - Bernd Leitenberger, Raumfahrt

円軌道では $K = GMm/(2r)$、$U = -GMm/r$、$E = -GMm/(2r)$ となり、運動エネルギーは全エネルギーと同じ大きさで符号が逆になります。だから $E$ を増やすと $K$ は同じだけ減る。加えたぶんの $2$ 倍が高さへ回り、$1$ 倍が速さから持ち出される勘定。宇宙ステーションの高度から静止軌道へ移すホーマン遷移では、$2$ 回とも加速して合計 $3.85\ \mathrm{km/s}$ を使うのに、着いた先は $4.6\ \mathrm{km/s}$ 遅くなります。空気抵抗で衛星が速くなるパラドックスまで。