登らずに木の高さを出す - 仰角と俯角を使う三角比の測量

木から $25$ メートル離れて、こずえを見上げた角が $38^{\circ }$。それだけで木の高さが $19.5$ メートルと出ます。

測量で直接測れるものは 2 つしかありません。角と距離だけ^[1]。

そこから、届かない場所の長さを計算で埋める。三角比はそのための道具になっている。

仰角と俯角

水平線を基準にして、見上げた角を仰角、見下ろした角を俯角と呼びます^[2]。

どちらも水平からの角です。真上や真下からの角ではない。

高さと水平距離をつなぐのは正接です。$\tan (\text{角})=\frac{\text{高さ}}{\text{水平距離}}$ という形になる。

例：木の高さを測る

木の根元から $25$ メートル離れた地点に立つ。こずえを見上げた角が $38^{\circ }$ でした。

$$h=25\times \tan 38^{\circ }=25\times 0.7813=19.53$$

$19.5$ メートルほど。歩数で距離を測り、角度計で角をとるだけで数字が出ます。

目の高さを足し忘れない

測った角は、目の位置からの角です。木の根元からの角ではない。

計算で出るのは、目の高さより上の部分だけになります。地面から測った高さにするには、目の高さを足す。

例：ビルの高さを目の高さ込みで出す

ビルから $40$ メートル離れ、屋上を見上げた角が $62^{\circ }$、目の高さが $1.5$ メートルとします。

$$40\times \tan 62^{\circ }=40\times 1.8807=75.23$$

これに $1.5$ を足して $76.7$ メートル。足し忘れると $2$ パーセントほど低く出ます。

俯角は下向きの角

高い場所から下を見るときは俯角を使います。三角形の形は仰角のときと変わらない。

見下ろす側の水平線と、見上げられる側の水平線は平行です。だから俯角と、下から見上げた仰角は等しくなる。

同じ直角三角形を、どちらの頂点から読むかの違いにすぎない。

例：灯台から船までの距離

海面から $40$ メートルの高さにある灯台から、船を見下ろした角が $12^{\circ }$ でした。

$$d=\frac{40}{\tan 12^{\circ }}=\frac{40}{0.2126}=188.1$$

水平距離はおよそ $188$ メートル。俯角が小さいほど船は遠くにいます。

川を渡らずに幅を測る

対岸の目印を決めます。その正面に立ち、岸に沿って直角に $20$ メートル歩く。

歩いた先から目印を見ると、進行方向との角が測れます。この角と歩いた距離で、川幅が出る。

角が $65^{\circ }$ なら、川幅は $20\times \tan 65^{\circ }=20\times 2.1445=42.9$ メートル。

歩くのは岸沿いだけ。水に入らずに幅が決まります。

底に立てないときは 2 地点から測る

山の高さを測る場合、真下に立てません。水平距離が分からないので、正接に入れる数がない。

そこで一直線上の 2 地点から仰角をとります。地点の間の距離を測れば、高さが決まる^[1]。

高さを $h$ とすると、それぞれの地点から真下までの水平距離は $\frac{h}{\tan 22^{\circ }}$ と $\frac{h}{\tan 35^{\circ }}$ になる。

例：2 地点から山の高さを出す

$500$ メートル離れた 2 地点から仰角をとったところ、$22^{\circ }$ と $35^{\circ }$ でした。

水平距離の差が、この $500$ メートルにあたる。

$$\begin{array}{rl}\frac{h}{\tan 22^{\circ }}-\frac{h}{\tan 35^{\circ }}& =500\\ h\times (2.4751-1.4281)& =500\\ h\times 1.0470& =500\end{array}$$

$h=477.6$ メートル。検算すると $477.6÷0.4040=1182$、$477.6÷0.7002=682$ で、差が $500$ に戻る。

表から角を引く

長さを 2 つ測れば、逆に角が出ます。正接の値を作ってから、表で近い値を探す。

角度計がなくても、巻き尺 2 回で角が決まります。三角比の表は、この向きにも使える。

三角形をつないで遠くまで測る

長い距離を巻き尺で測るのは現実的ではありません。そこで三角形を数珠つなぎにする。

基線を 1 本だけ正確に測り、あとは角を測って計算で伸ばしていく。これが三角測量です^[3]。

アメリカの国土測量では、ニューヨークから始めた網をメイン州へ、さらにニューオーリンズへと広げました。1871 年には大陸を横断する精密な三角網が組まれた^[3]。

例：山頂から地球の半径を出す

11 世紀の学者アル・ビールーニーは、この考えを地球そのものに当てました^[4]。

まず 2 地点から仰角をとって丘の高さを求める。次に丘へ登り、水平線を見下ろす俯角を測ります。

見える限界の点では、視線が地球に接します。接線と半径は直角に交わる。

丘の上の水平線は半径と直角なので、俯角を $\theta$ とすると中心の角も $\theta$ になります。

$$\cos \theta =\frac{R}{R+h},R=\frac{h\cos \theta }{1-\cos \theta }$$

丘の高さ $h=300$ メートル、俯角 $\theta =0.556^{\circ }$ を入れると $R\fallingdotseq 6371$ キロメートル。

アル・ビールーニーが実際に得た値は、現代の値と $2$ パーセントほどの差でした^[4]。パンジャブのナンダナ砦での測定^[4]。

測れるのは角と距離だけ。そこから届かない長さを埋めていく手つきが、測量という仕事の中身です。

参考