「45 度の半分」から出る 22.5 度と 67.5 度の三角比と正八角形

$\tan 22.5^{\circ }$ は $\sqrt{2}-1$ という短い式になります^[1]。ところが正弦と余弦のほうは、根号の中にもう 1 つ根号が入る。

$$\sin 22.5^{\circ }=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},\cos 22.5^{\circ }=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$

値は $0.3827$ と $0.9239$^[1]。$45^{\circ }$ の直角三角形を 1 回延ばせば、この形が図から出てきます。

45 度を二等分する図

$1$ 辺 $1$ の正方形を対角線で切った直角三角形から始める。$AC=1$、$BC=1$、$AB=\sqrt{2}$ の形です^[2]。

直角の頂点を $C$、$45^{\circ }$ の頂点を $B$ とします。$CB$ を $B$ の側へ延ばし、$BD=BA=\sqrt{2}$ となる点 $D$ をとる。

三角形 $ABD$ は二等辺三角形なので、角 $D$ と角 $DAB$ が等しくなる。

外角の $45^{\circ }$ がこの 2 つに分かれるので、それぞれ $22.5^{\circ }$ になる。

3 辺の長さを出す

$CD$ は $CB$ と $BD$ を足した $1+\sqrt{2}$ です。$AC$ は $1$ のまま。

斜辺 $AD$ を三平方の定理で出します。

$$\begin{array}{rl}A{D}^2& =1^2+(1+\sqrt{2}{)}^2\\ & =1+1+2\sqrt{2}+2=4+2\sqrt{2}\end{array}$$

$AD=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\fallingdotseq 2.613$ になる。ここで二重根号が現れました。

例：tan 22.5 度は根号 1 つで済む

正接は対辺を隣辺で割るので、斜辺が要りません。

$$\tan 22.5^{\circ }=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$$

分母を有理化しました。$(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}=1$ なので、分母が消える。

$\sqrt{2}-1\fallingdotseq 0.4142$ です。二重根号の出番がないので、いちばん扱いやすい形になっている。

例：sin と cos には二重根号が残る

$\sin 22.5^{\circ }$ は対辺を斜辺で割った値。

$$\sin 22.5^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}$$

このままでも正しい値。ただし分母に根号があるので、整理した形に直します。

$$\sin 22.5^{\circ }=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$

$2$ 乗して確かめると $\frac{2-\sqrt{2}}{4}=\frac{0.5858}{4}=0.1464$。平方根をとると $0.3827$ になり、一致します^[1]。

余弦のほうも同じ手順で $\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}=0.9239$ になる^[1]。

67.5 度は余角として読む

同じ三角形の残る鋭角が $67.5^{\circ }$ です。$22.5^{\circ }+67.5^{\circ }=90^{\circ }$ なので余角の関係になる^[3]。

正弦と余弦が入れかわり、正接は逆数になる。

$$\sin 67.5^{\circ }=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},\tan 67.5^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$$

$\tan 67.5^{\circ }\fallingdotseq 2.414$。$\tan 22.5^{\circ }$ との積が $1$ になることも確かめられます。

正弦の列が入れかわり、正接の列は逆数どうしになっています。

正八角形の中に 22.5 度がいる

正八角形を中心から 8 つの三角形に分けると、それぞれの頂角は $\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$。

二等辺三角形なので、頂点から底辺へ下ろした垂線が頂角を二等分する。ここに $22.5^{\circ }$ が現れます。

$1$ 辺 $a$ の正八角形では、外接円の半径が $\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}a$、内接円の半径が $\frac{1+\sqrt{2}}{2}a$ です^[4]。

さきほど図から出した長さが、そのまま並んでいる。

例：正八角形の面積

$1$ 辺 $a$ の正八角形の面積は次の形になる^[4]。

$$S=2(1+\sqrt{2})a^2\fallingdotseq 4.828a^2$$

$a=4$ なら $S=32(1+\sqrt{2})\fallingdotseq 77.25$。

正方形なら $16$、正十二角形ならもっと大きい。辺の数が増えるほど、同じ 1 辺での面積は増えます。

例：正方形の四隅を落として作る

正八角形は、正方形の四隅から直角二等辺三角形を切り落として作れます。

切り落とす三角形の脚を $x$ とすると、斜辺が $x\sqrt{2}$。これが正八角形の 1 辺 $a$ に等しいので $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ になる。

正方形の 1 辺は $a+2x=a+\sqrt{2}a=(1+\sqrt{2})a$。

面積を引き算で出すと、公式と同じ形に落ちます。

$$\begin{array}{rl}S& =(1+\sqrt{2}{)}^2{a}^2-4\times \frac{1}{2}{x}^2\\ & =(3+2\sqrt{2})a^2-a^2=2(1+\sqrt{2})a^2\end{array}$$

$22.5^{\circ }$ は $45^{\circ }$ をもう 1 回だけ折ってできる角です。折る回数が増えるぶん、根号も 1 段深くなる。

参考