二等辺三角形をつなぐだけ、15 度と 75 度の三角比を図で出す

$\sin 15^{\circ }$ の値は $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$、$\cos 15^{\circ }$ は $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ です^[1]。

小数にすると $0.2588$ と $0.9659$。$\tan 15^{\circ }$ は $2-\sqrt{3}$ で $0.2679$^[2]。

$30^{\circ }$ の直角三角形に二等辺三角形をつなぐだけで、この値が図から読めます。

30 度を二等分する図をつくる

$1$ 辺 $2$ の正三角形を高さで切った直角三角形から始める。$30^{\circ }$、$60^{\circ }$、$90^{\circ }$ の三角形です^[3]。

直角の頂点を $C$、$30^{\circ }$ の頂点を $B$、残りを $A$ とすると、$AC=1$、$BC=\sqrt{3}$、$AB=2$ になる。

$CB$ を $B$ の側へ延ばし、$BD=BA=2$ となる点 $D$ をとる。

三角形 $ABD$ は $BD=BA$ の二等辺三角形なので、角 $D$ と角 $DAB$ が等しくなります。

外角が 30 度だから半分が 15 度

三角形 $ABD$ の外角が、いま角 $ABC=30^{\circ }$ にあたります。外角は残る 2 つの内角の和に等しい。

その 2 つが等しいので、それぞれ $15^{\circ }$ になる。

$$\angle ADB=\angle DAB=\frac{30^{\circ }}{2}=15^{\circ }$$

これで $15^{\circ }$ を頂点に持つ直角三角形 $ACD$ ができました。

3 辺の長さを出す

$CD$ は $CB$ と $BD$ を足した長さです。$\sqrt{3}+2$ になる。

$AC$ は $1$ のまま。斜辺 $AD$ は三平方の定理から出ます。

$$\begin{array}{rl}A{D}^2& =1^2+(2+\sqrt{3}{)}^2\\ & =1+4+4\sqrt{3}+3=8+4\sqrt{3}\end{array}$$

$8+4\sqrt{3}$ は $(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2$ に等しくなります。展開すると $6+2+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}$ で合う。

だから $AD=\sqrt{6}+\sqrt{2}\fallingdotseq 3.863$。

例：15 度の 3 つの値

直角三角形 $ACD$ で、$15^{\circ }$ から見た対辺は $AC=1$、隣辺は $CD=2+\sqrt{3}$、斜辺は $AD=\sqrt{6}+\sqrt{2}$。

$$\tan 15^{\circ }=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$$

分母を有理化しました。$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$ なので、分母が消える。

$$\sin 15^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$

こちらも有理化しています。$(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})=6-2=4$ が分母になる。

例：余弦も同じ図から出す

$\cos 15^{\circ }$ は隣辺を斜辺で割った値。

$$\cos 15^{\circ }=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

分子と分母に $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ を掛けて整理すると、この形に落ちます。

$0.9659$ という値になる。$\sin 15^{\circ }$ とは分子の符号だけが違います。

75 度は余角として読む

同じ三角形の残る鋭角が $75^{\circ }$ です。$15^{\circ }+75^{\circ }=90^{\circ }$ なので、余角の関係になる^[4]。

対辺と隣辺が入れかわるので、正弦と余弦も入れかわる。

$$\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4},\cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},\tan 75^{\circ }=2+\sqrt{3}$$

$\tan 75^{\circ }$ は $\tan 15^{\circ }$ の逆数。$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$ になります^[1]。

2 行の値が入れかわっているだけ。同じ図から出た 2 つの角だからです。

検算のしかた

出てきた値が正しいかどうかは、平方の和で確かめられます。

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }& =\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{6}+\sqrt{2}{)}^2}{16}\\ & =\frac{(8-4\sqrt{3})+(8+4\sqrt{3})}{16}=1\end{array}$$

根号の項が打ち消し合って $1$ に戻りました。

積のほうも簡単な形になる。$\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{6-2}{16}=\frac{1}{4}$ です。

鈍角側の 105 度と 165 度

$15^{\circ }$ の値が手元にあれば、鈍角側の 2 つも作れる。

$105^{\circ }=90^{\circ }+15^{\circ }$ なので、正弦と余弦が入れかわり、余弦に負号が付く。

$165^{\circ }=180^{\circ }-15^{\circ }$ なら、正弦はそのままで余弦だけが符号を変えます。

4 つの角は、$0.2588$ と $0.9659$ という 2 つの値を組み替えているだけです。

例：105 度と 165 度の値

$\sin 105^{\circ }=\cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$、$\cos 105^{\circ }=-\sin 15^{\circ }=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ になる。

$\sin 165^{\circ }=\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$、$\cos 165^{\circ }=-\cos 15^{\circ }=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$。

正接は $\tan 105^{\circ }=-(2+\sqrt{3})$、$\tan 165^{\circ }=-(2-\sqrt{3})$。どちらも負になります。

$15^{\circ }$ の値が根号 2 つで書けるのは、$30^{\circ }$ の三角形を 1 回だけ折り返して作れる角だからです。図が 1 枚あれば、公式を覚えずに再現できる。

出典