「180 度から引く」だけで鈍角の三角比が出る補角の公式

$\sin 150^{\circ }$ は $\sin 30^{\circ }$ と同じ $\frac{1}{2}$ です。$\cos 150^{\circ }$ は $\cos 30^{\circ }$ に負号を付けた $-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

鈍角の値は、$180^{\circ }$ から引いた鋭角の値から作れます^[1]。正弦はそのまま、余弦と正接は符号を変える。

単位円で $y$ 軸について折り返すと、この規則がそのまま見えてくる。

180 度から引くと左右が入れかわる

$\theta$ の点と $180^{\circ }-\theta$ の点を並べます。片方が右上なら、もう片方は左上。

原点からの距離はどちらも $1$ で、$x$ 軸からの高さも同じです。違うのは左右だけになる。

正弦は高さなので変わりません。余弦は左右の位置なので、符号だけがひっくり返る^[2]。

x 座標だけが符号を変える

$\theta$ の点を $(\cos \theta ,\sin \theta )$ とすると、$180^{\circ }-\theta$ の点は $(-\cos \theta ,\sin \theta )$。

$y$ はそのまま、$x$ に負号が付いた形。ここから 3 つの公式がまとめて出てきます^[3]。

$$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta ,\tan (180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$$

正接は $\frac{y}{x}$ なので、分母だけが負になって全体が負に転じる。

例：150 度と 135 度と 120 度

$180^{\circ }$ から引いた角は、それぞれ $30^{\circ }$、$45^{\circ }$、$60^{\circ }$。

正弦の列は $30^{\circ }$、$45^{\circ }$、$60^{\circ }$ の値そのまま。余弦の列だけに負号が付いています。

基準角という言い方

鈍角 $\theta$ に対して、$180^{\circ }-\theta$ を基準の鋭角として扱う考え方があります^[4]。

値の大きさは基準の鋭角から読み、符号は象限から決める。この 2 段構えにすると手順が短くなる。

図の直角三角形は $35^{\circ }$ のものです。辺の長さは $\sin 35^{\circ }$ と $\cos 35^{\circ }$ から出る。

$x$ 軸の左側にあるので、横の座標には負号が付く。

例：鈍角の値を鋭角の表から引く

$\sin 170^{\circ }$ を求めます。$180^{\circ }-170^{\circ }=10^{\circ }$ なので、$\sin 10^{\circ }=0.1736$ をそのまま使う。

$\cos 170^{\circ }$ は $\cos 10^{\circ }=0.9848$ に負号を付けて $-0.9848$。

$\tan 170^{\circ }$ も同じで、$\tan 10^{\circ }=0.1763$ から $-0.1763$ になる。

正弦だけが同じ値のまま

$\sin (180^{\circ }-\theta )=\sin \theta$ という等式は、方程式の答えの個数に直結します。

$\sin \theta =k$ を満たす角が 2 つ出るのは、この関係があるためです。片方を見つければ、もう片方は引き算で作れる。

$\sin \theta =\frac{1}{2}$ の答えは $30^{\circ }$ と $150^{\circ }$ です。足すと $180^{\circ }$ になる。

余弦の場合は $\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$ で値が変わるので、こうした対はできません。

余角と混ぜない

$90^{\circ }-\theta$ と $180^{\circ }-\theta$ は、引く数も結果も違う。

余角は関数の名前が変わり、補角は符号が変わる。混ざりやすいので、単位円のどちらの軸で折り返すかで見分けます。

例：どちらを使うか見分ける

$\cos 160^{\circ }$ を鋭角に直します。$160^{\circ }$ は鈍角なので補角を使い、$180^{\circ }-160^{\circ }=20^{\circ }$ から $-\cos 20^{\circ }$。

$\cos 70^{\circ }$ を正弦に直すなら余角を使います。$90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }$ で $\sin 20^{\circ }$ になる。

引く数が $90$ か $180$ かで、起きることが違う。角が鈍角なら補角、関数を替えたいなら余角です。

例：余弦から鈍角そのものを決める

三角形の角 $A$ について $\cos A=-\frac{1}{3}$ と分かったとします。負なので $A$ は鈍角。

$${\sin }^{2}A=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9},\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}\fallingdotseq 0.943$$

角そのものは補角から出ます。$\cos (180^{\circ }-A)=\frac{1}{3}$ なので、$180^{\circ }-A\fallingdotseq 70.5^{\circ }$。

したがって $A\fallingdotseq 109.5^{\circ }$ になる。鈍角のまま表を引く代わりに、鋭角へ移してから戻す形です。

表を鈍角まで伸ばす

$0^{\circ }$ から $90^{\circ }$ までの表が 1 枚あれば、$180^{\circ }$ までの値がすべて作れる。

$135^{\circ }$ なら $45^{\circ }$、$170^{\circ }$ なら $10^{\circ }$。引き算 1 回で表の中へ戻せます。

補角の公式がしていることは、単位円を $y$ 軸で折り返す 1 手だけです。$x$ が符号を落とし、$y$ は動かない。

出典