sin(A+B) はなぜ sinC になるのか？三角形の内角と三角比

三角形の 3 つの角を $A$、$B$、$C$ とすると、$\sin (A+B)$ は $\sin C$ に等しくなります。

$\cos (A+B)$ のほうは $-\cos C$。符号が入れかわる。

角を半分にすると関係も変わります。$\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}$ という形になる。

内角の和は 180 度

三角形の内角の和が $2$ 直角、つまり $180^{\circ }$ であることは、ユークリッドの原論に命題として置かれています^[1]。

3 つの角を切り離して頂点をそろえて並べると、ちょうど一直線になる。

外角が残り 2 つの内角の和に等しい、という言い方も同じ内容^[1]。

A と B の和は C の補角

$A+B+C=180^{\circ }$ を移項します。

$$A+B=180^{\circ }-C$$

つまり $A+B$ は $C$ の補角です。補角の公式がそのまま使える形になる^[2]。

補角の公式を当てはめると、3 本の関係がそろって出てきます^[4]。

$$\sin (A+B)=\sin C,\cos (A+B)=-\cos C,\tan (A+B)=-\tan C$$

正弦だけが符号を変えません。$A+B$ と $C$ は、単位円で高さの等しい 2 点に対応する。

例：C が 40 度の三角形

$A+B=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$。

$\sin 140^{\circ }=0.6428$ で、$\sin 40^{\circ }$ と同じ値になる。$\cos 140^{\circ }=-0.7660$ は $\cos 40^{\circ }=0.7660$ の符号違いです。

$\tan 140^{\circ }=-0.8391$、$\tan 40^{\circ }=0.8391$。こちらも符号だけが違う。

例：等式を証明する

$\sin (A+B)=\sin C$ を示します。三角形の内角なので $A+B+C=180^{\circ }$。

$$\begin{array}{rl}\sin (A+B)& =\sin (180^{\circ }-C)\\ & =\sin C\end{array}$$

途中で使ったのは補角の公式だけです。内角の和を移項して、$180^{\circ }$ から引く形を作った。

半分にすると余角になる

$A+B=180^{\circ }-C$ の両辺を $2$ で割ります。

$$\frac{A+B}{2}=90^{\circ }-\frac{C}{2}$$

引く数が $180^{\circ }$ から $90^{\circ }$ に変わりました。補角ではなく余角の関係になる^[3]。

余角の公式では正弦と余弦が入れかわります。だから半角どうしの関係は次の形になる。

$$\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2},\cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2}$$

例：C が 80 度で確かめる

$\frac{A+B}{2}=\frac{180^{\circ }-80^{\circ }}{2}=50^{\circ }$、$\frac{C}{2}=40^{\circ }$。

$\sin 50^{\circ }=0.7660$、$\cos 40^{\circ }=0.7660$。値が一致しました。

$\cos 50^{\circ }=0.6428$、$\sin 40^{\circ }=0.6428$ も同じです。$50^{\circ }$ と $40^{\circ }$ が余角どうしだから。

例：半角の等式を証明する

$\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}$ を示します。

$$\begin{array}{rl}\sin \frac{A+B}{2}& =\sin \left(90^{\circ }-\frac{C}{2}\right)\\ & =\cos \frac{C}{2}\end{array}$$

内角の和を $2$ で割って余角の形にする。使う公式が補角から余角へ替わるだけで、手順は前と変わりません。

例：足して 0 になる形

$\cos (A+B)+\cos C$ を計算する。

$$\cos (A+B)+\cos C=-\cos C+\cos C=0$$

どんな三角形でも $0$ になります。$C$ の値を決めずに答えが出る、という点がこの手の等式の特徴。

$\sin (A+B)-\sin C=0$ も同じ理屈で成り立つ。

直角三角形では余角そのものになる

$C=90^{\circ }$ のとき $A+B=90^{\circ }$ です。$A$ と $B$ が余角どうしになる。

$$\sin A=\cos B,\cos A=\sin B$$

直角三角形の 2 つの鋭角についての関係が、ここから出てくる。

図の $A$ と $B$ は、たがいに余角の関係にある 2 つの鋭角です。

ただし $\tan (A+B)=-\tan C$ だけは使えません。$C=90^{\circ }$ では正接が定義されないため。

例：3 つの角の関係を使う

三角形 $ABC$ で $\sin A=\sin (B+C)$ が成り立つことを見る。

$B+C=180^{\circ }-A$ なので、補角の公式から $\sin (B+C)=\sin A$。どの頂点を主役にしても同じ形が出る。

$\cos A+\cos (B+C)=0$ も、$\cos B+\cos (C+A)=0$ も成り立ちます。

三角形の内角の等式は、$A+B$ を $180^{\circ }-C$ に書きかえた時点でほぼ終わります。あとは補角か余角の公式を 1 回当てるだけ。

参考