正五角形に隠れた黄金比 - 18 度と 36 度の三角比を図で出す

$sin 1 8^{\circ} = \frac{5 - 1}{4}$ 、 $cos 3 6^{\circ} = \frac{5 + 1}{4}$ です^[1,2]。

分子の符号がひとつ違うだけの、よく似た 2 つの値。どちらも $5$ という根号を持ちます。

$2$ でも $3$ でもなく $5$ が出てくるのは、この角が正五角形から来ているためです。

正五角形から三角形を 1 つ切り出す

正五角形の中心角は $\frac{36 0 ^{\circ}}{5} = 7 2^{\circ}$ 、内角は $10 8^{\circ}$ になる。

対角線を 1 本引くと、頂角 $3 6^{\circ}$ 、底角が $7 2^{\circ}$ ずつの二等辺三角形が現れる。

この三角形を $A B C$ とします。 $A$ が頂角の $3 6^{\circ}$ 、 $A B = A C = 1$ 、底辺 $B C$ を $x$ と置く。

ユークリッドも正五角形の作図で、この $3 6^{\circ}$ と $7 2^{\circ}$ の二等辺三角形を土台にしています^[3]。

底角を二等分すると相似な三角形が出る

角 $B$ を二等分し、 $A C$ との交点を $D$ とします。角 $A B D$ と角 $D B C$ がどちらも $3 6^{\circ}$ になる。

三角形 $B D C$ の角を数えると、 $3 6^{\circ}$ 、 $7 2^{\circ}$ 、 $7 2^{\circ}$ 。もとの三角形と同じ形です。

三角形 $B D C$ は底角が $7 2^{\circ}$ ずつなので $B D = B C = x$ になる。三角形 $A B D$ は角 $A$ と角 $A B D$ がどちらも $3 6^{\circ}$ なので $A D = B D = x$ です。

$A D = x$ なので $D C = 1 - x$ 。材料がそろいました。

2 次方程式にたどりつく

三角形 $A B C$ と三角形 $B D C$ が相似なので、対応する辺の比が等しくなる。

$A B : B C = B C : D C$

数を入れると $1 : x = x : (1 - x)$ になる。内項の積と外項の積を等しく置く。

$x^{2} = 1 - x, x^{2} + x - 1 = 0$

解の公式から $x = \frac{- 1 + 5}{2}$ です。長さなので正の解だけをとる。

$x ≒ 0.6180$ になりました。ここで $5$ が現れます。

例：sin 18 度を高さから出す

頂点 $A$ から底辺 $B C$ へ垂線を下ろします。二等辺三角形なので、頂角 $3 6^{\circ}$ が二等分される。

できた直角三角形の頂角は $1 8^{\circ}$ 、斜辺は $A B = 1$ 、対辺は $\frac{x}{2}$ 。

正弦は対辺を斜辺で割った値です。斜辺が $1$ なので、対辺がそのまま答えになる。

$sin 1 8^{\circ} = \frac{x}{2} = \frac{5 - 1}{4} ≒ 0.3090$

例：cos 36 度を別の三角形から出す

さきほどの三角形 $A B D$ を使います。 $A D = B D = x$ 、 $A B = 1$ 、底角が $3 6^{\circ}$ ずつの二等辺三角形。

$D$ から $A B$ へ垂線を下ろすと、 $A B$ の中点で交わります。だから $A M = \frac{1}{2}$ になる。

$cos 3 6^{\circ} = \frac{A M}{A D} = \frac{1/2}{x} = \frac{1}{2 x}$

$x = \frac{5 - 1}{2}$ を入れて有理化します。

$cos 3 6^{\circ} = \frac{1}{5 - 1} = \frac{5 + 1}{4} ≒ 0.8090$

分子の符号が $sin 1 8^{\circ}$ と逆になりました^[2]。

$sin 1 8^{\circ}$ と $cos 3 6^{\circ}$ は分子が 1 だけ違うので、差も積も簡単な数になります。

差は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 、積は $\frac{5 - 1}{16} = \frac{1}{4}$ 。

残りの 4 つは二重根号になる

$cos 1 8^{\circ}$ と $sin 3 6^{\circ}$ は、根号の中にもう 1 つ根号が入ります^[1,2]。

$cos 1 8^{\circ} = \frac{10 + 2 5}{4}, sin 3 6^{\circ} = \frac{10 - 2 5}{4}$

値は $0.9511$ と $0.5878$ 。正接のほうも根号が二重に重なります。

角	sin	cos
18 度	0.3090	0.9511
36 度	0.5878	0.8090

$tan 1 8^{\circ} ≒ 0.3249$ 、 $tan 3 6^{\circ} ≒ 0.7265$ になる^[1,2]。

検算のしかた

平方の和で確かめます。 $sin 1 8^{\circ}$ と $cos 1 8^{\circ}$ を $2$ 乗して足す。

$\frac{( 5 - 1 ) ^{2} + ( 10 + 2 5 )}{16} = \frac{( 6 - 2 5 ) + ( 10 + 2 5 )}{16} = \frac{16}{16} = 1$

根号の項が打ち消し合いました。 $3 6^{\circ}$ の側でも同じ形で $1$ に戻る。

黄金比という名前

$x = \frac{5 - 1}{2}$ の逆数は $\frac{5 + 1}{2} ≒ 1.618$ 。この数を黄金比と呼びます。

ユークリッドは線分の分け方として定義しました。全体と長いほうの比が、長いほうと短いほうの比に等しくなる分け方です^[4]。

$x^{2} = 1 - x$ という式は、まさにその条件を書いたものになっている。

$cos 3 6^{\circ}$ の値はどれですか。

$\frac{1 + 5}{4}$
$\frac{5 - 1}{4}$
$\frac{1 + 5}{2}$

__RESULT__

$\frac{1 + 5}{4} ≒ 0.809$ です。 $\frac{5 - 1}{4}$ は $sin 1 8^{\circ}$ 、 $\frac{1 + 5}{2} ≒ 1.618$ は黄金比そのもので、 $1$ を超えるので余弦の値になりません。

正五角形の対角線と 1 辺

対角線と 1 辺の比も、この黄金比になります^[5]。

1 辺を $a$ 、対角線を $d$ とすると $d = \frac{1 + 5}{2} a ≒ 1.618 a$ 。

対角線を 5 本すべて引くと、中央に小さな正五角形が現れます。この小さい五角形も、同じ比を持つ。

例：1 辺が 4 の正五角形

対角線は $d = \frac{1 + 5}{2} \times 4 = 2 (1 + 5) ≒ 6.47$ になる。

外接円の半径は $R = \frac{a}{2 sin 3 6 ^{\circ}} = \frac{4}{2 \times 0.5878} ≒ 3.40$ 。

$1$ 辺の $0.851$ 倍という関係です^[5]。 $1 8^{\circ}$ と $3 6^{\circ}$ の値が、そのまま計量に効いてくる。

例：正五角形の面積

$1$ 辺 $a$ の正五角形の面積は、 $3 6^{\circ}$ の正接から書けます^[5]。

$S = \frac{5}{4} \times \frac{a ^{2}}{tan 3 6 ^{\circ}} ≒ 1.7205 a^{2}$

$a = 4$ なら $S ≒ 27.5$ 、 $a = 6$ なら $S ≒ 61.9$ になる。

正方形の $1$ 倍、正六角形の $2.598$ 倍と並べると、辺の数が増えるほど大きくなる様子が見える。

$1$ 辺が $4$ の正五角形の対角線の長さはどれですか。

$2 (1 + 5)$
$1 + 5$
$45$

__RESULT__

対角線と 1 辺の比は黄金比なので、 $\frac{1 + 5}{2} \times 4 = 2 (1 + 5) ≒ 6.47$ です。 $1 + 5$ は $1$ 辺が $2$ のときの値になります。

$3 0^{\circ}$ の値が正三角形から、 $4 5^{\circ}$ の値が正方形から出たように、 $1 8^{\circ}$ と $3 6^{\circ}$ の値は正五角形から出ます。 $5$ が顔を出すのは、五角形の対角線が黄金比を作るため。

参考文献

Eric W. Weisstein. *Trigonometry Angles: Pi/10*. MathWorld, Wolfram Research.

Eric W. Weisstein. *Trigonometry Angles: Pi/5*. MathWorld, Wolfram Research.

D. E. Joyce, ed. *Euclid's Elements, Book IV, Proposition 11*. Clark University.

D. E. Joyce, ed. *Euclid's Elements, Book VI, Definition 3*. Clark University.

Eric W. Weisstein. *Regular Pentagon*. MathWorld, Wolfram Research.

sin18 度は 5 の平方根から 1 を引いて 4 で割った値、cos36 度は 1 を足して 4 で割った値です。分子の符号がひとつ違うだけ。2 でも 3 でもなく 5 の平方根が出るのは、この角が正五角形から来ているためです。頂角 36 度の二等辺三角形で底角を二等分すると、相似な小さい三角形が現れ、辺の比から x の 2 乗 + x - 1 = 0 という 2 次方程式になる。解が黄金比の逆数です。頂点から垂線を下ろせば sin18 度が、もう一方の三角形からは cos36 度が読めます。正五角形の対角線と 1 辺の比、面積まで扱いました。