正五角形に隠れた黄金比 - 18 度と 36 度の三角比を図で出す

$\sin 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$、$\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ です^[1,2]。

分子の符号がひとつ違うだけの、よく似た 2 つの値。どちらも $\sqrt{5}$ という根号を持ちます。

$2$ でも $3$ でもなく $5$ が出てくるのは、この角が正五角形から来ているためです。

正五角形から三角形を 1 つ切り出す

正五角形の中心角は $\frac{360^{\circ }}{5}=72^{\circ }$、内角は $108^{\circ }$ になる。

対角線を 1 本引くと、頂角 $36^{\circ }$、底角が $72^{\circ }$ ずつの二等辺三角形が現れる。

この三角形を $ABC$ とします。$A$ が頂角の $36^{\circ }$、$AB=AC=1$、底辺 $BC$ を $x$ と置く。

ユークリッドも正五角形の作図で、この $36^{\circ }$ と $72^{\circ }$ の二等辺三角形を土台にしています^[3]。

底角を二等分すると相似な三角形が出る

角 $B$ を二等分し、$AC$ との交点を $D$ とします。角 $ABD$ と角 $DBC$ がどちらも $36^{\circ }$ になる。

三角形 $BDC$ の角を数えると、$36^{\circ }$、$72^{\circ }$、$72^{\circ }$。もとの三角形と同じ形です。

三角形 $BDC$ は底角が $72^{\circ }$ ずつなので $BD=BC=x$ になる。三角形 $ABD$ は角 $A$ と角 $ABD$ がどちらも $36^{\circ }$ なので $AD=BD=x$ です。

$AD=x$ なので $DC=1-x$。材料がそろいました。

2 次方程式にたどりつく

三角形 $ABC$ と三角形 $BDC$ が相似なので、対応する辺の比が等しくなる。

$$AB:BC=BC:DC$$

数を入れると $1:x=x:(1-x)$ になる。内項の積と外項の積を等しく置く。

$$x^2=1-x,x^2+x-1=0$$

解の公式から $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ です。長さなので正の解だけをとる。

$x\fallingdotseq 0.6180$ になりました。ここで $\sqrt{5}$ が現れます。

例：sin 18 度を高さから出す

頂点 $A$ から底辺 $BC$ へ垂線を下ろします。二等辺三角形なので、頂角 $36^{\circ }$ が二等分される。

できた直角三角形の頂角は $18^{\circ }$、斜辺は $AB=1$、対辺は $\frac{x}{2}$。

正弦は対辺を斜辺で割った値です。斜辺が $1$ なので、対辺がそのまま答えになる。

$$\sin 18^{\circ }=\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\fallingdotseq 0.3090$$

例：cos 36 度を別の三角形から出す

さきほどの三角形 $ABD$ を使います。$AD=BD=x$、$AB=1$、底角が $36^{\circ }$ ずつの二等辺三角形。

$D$ から $AB$ へ垂線を下ろすと、$AB$ の中点で交わります。だから $AM=\frac{1}{2}$ になる。

$$\cos 36^{\circ }=\frac{AM}{AD}=\frac{1/2}{x}=\frac{1}{2x}$$

$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ を入れて有理化します。

$$\cos 36^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\fallingdotseq 0.8090$$

分子の符号が $\sin 18^{\circ }$ と逆になりました^[2]。

残りの 4 つは二重根号になる

$\cos 18^{\circ }$ と $\sin 36^{\circ }$ は、根号の中にもう 1 つ根号が入ります^[1,2]。

$$\cos 18^{\circ }=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4},\sin 36^{\circ }=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$$

値は $0.9511$ と $0.5878$。正接のほうも根号が二重に重なります。

$\tan 18^{\circ }\fallingdotseq 0.3249$、$\tan 36^{\circ }\fallingdotseq 0.7265$ になる^[1,2]。

検算のしかた

平方の和で確かめます。$\sin 18^{\circ }$ と $\cos 18^{\circ }$ を $2$ 乗して足す。

$$\begin{array}{rl}\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2+(10+2\sqrt{5})}{16}& =\frac{(6-2\sqrt{5})+(10+2\sqrt{5})}{16}\\ & =\frac{16}{16}=1\end{array}$$

根号の項が打ち消し合いました。$36^{\circ }$ の側でも同じ形で $1$ に戻る。

黄金比という名前

$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ の逆数は $\frac{\sqrt{5}+1}{2}\fallingdotseq 1.618$。この数を黄金比と呼びます。

ユークリッドは線分の分け方として定義しました。全体と長いほうの比が、長いほうと短いほうの比に等しくなる分け方です^[4]。

$x^2=1-x$ という式は、まさにその条件を書いたものになっている。

正五角形の対角線と 1 辺

対角線と 1 辺の比も、この黄金比になります^[5]。

1 辺を $a$、対角線を $d$ とすると $d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a\fallingdotseq 1.618a$。

対角線を 5 本すべて引くと、中央に小さな正五角形が現れます。この小さい五角形も、同じ比を持つ。

例：1 辺が 4 の正五角形

対角線は $d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\times 4=2(1+\sqrt{5})\fallingdotseq 6.47$ になる。

外接円の半径は $R=\frac{a}{2\sin 36^{\circ }}=\frac{4}{2\times 0.5878}\fallingdotseq 3.40$。

$1$ 辺の $0.851$ 倍という関係です^[5]。$18^{\circ }$ と $36^{\circ }$ の値が、そのまま計量に効いてくる。

例：正五角形の面積

$1$ 辺 $a$ の正五角形の面積は、$36^{\circ }$ の正接から書けます^[5]。

$$S=\frac{5}{4}\times \frac{a^2}{\tan 36^{\circ }}\fallingdotseq 1.7205a^2$$

$a=4$ なら $S\fallingdotseq 27.5$、$a=6$ なら $S\fallingdotseq 61.9$ になる。

正方形の $1$ 倍、正六角形の $2.598$ 倍と並べると、辺の数が増えるほど大きくなる様子が見える。

$30^{\circ }$ の値が正三角形から、$45^{\circ }$ の値が正方形から出たように、$18^{\circ }$ と $36^{\circ }$ の値は正五角形から出ます。$\sqrt{5}$ が顔を出すのは、五角形の対角線が黄金比を作るため。

参考文献