tan が分かれば場合分けが要らない〜三角比を tanθ から出す

$\tan \theta =\frac{3}{4}$ と言われたら、$\cos \theta =\frac{4}{5}$、$\sin \theta =\frac{3}{5}$ と 1 組に決まります。

正弦から出発したときのような場合分けは要りません。正接の符号が、そのまま余弦の符号を教えてくれるため。

$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ の範囲では、$\sin \theta$ がつねに正。だから $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ の符号は、分母の符号だけで決まる。

正接と余弦をつなぐ式

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ の両辺を ${\cos }^2\theta$ で割る^[1]。

$$\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }+1=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

左の分数は ${\tan }^2\theta$ です。書き直すと次の形になる。

$$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$$

正接だけが分かっている状態から、余弦の 2 乗が出せる式です^[2]。

右の三角形に三平方の定理を当てると、そのまま同じ式が出てきます。$1^2+{\tan }^2\theta$ が斜辺の $2$ 乗になる。

符号は正接から決まる

${\cos }^2\theta =\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }$ を平方根にすると、形の上では $\pm$ が付きます。

ところが $\sin \theta \geqq 0$ なので、$\tan \theta$ と $\cos \theta$ は同じ符号です^[3]。だから迷う場面がない。

原点を通る直線は左右へ伸びますが、上半分の円と交わる点は 1 つだけ。ここが答えが 1 組になる理由です。

手順は 3 段

正接から出発するときの流れをまとめる。

$\sin \theta =\tan \theta \times \cos \theta$ という最後の一手が短いので、$\sin$ を平方根から出す必要はない。

例：tan が 3/4 のとき

$1+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=1+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$ になる。

$${\cos }^2\theta =\frac{16}{25}$$

$\tan \theta$ が正なので $\cos \theta =\frac{4}{5}$。$\sin \theta =\frac{3}{4}\times \frac{4}{5}=\frac{3}{5}$ になります。

角は $36.9^{\circ }$。辺が $3$、$4$、$5$ の直角三角形と同じ組になりました。

例：tan が -3/4 のとき

$2$ 乗すると符号が消えるので、${\cos }^2\theta$ はさきほどと同じ $\frac{16}{25}$ になる。

$\tan \theta$ が負なので、今度は $\cos \theta =-\frac{4}{5}$ を選ぶ。

$$\sin \theta =-\frac{3}{4}\times \left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{3}{5}$$

正弦は正のまま。角は $143.1^{\circ }$ になります。

例：tan が 2 のとき

$1+2^2=5$ なので ${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$。

$$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\fallingdotseq 0.4472$$

$\sin \theta =2\times 0.4472=0.8944$ です。角は $63.4^{\circ }$ になる。

分母を有理化して $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ と書くこともできます。

例：tan が -1 と -3 の平方根のとき

$\tan \theta =-1$ なら $1+1=2$ で ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}$。負を選んで $\cos \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

$\sin \theta =(-1)\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ で、角は $135^{\circ }$ になる。

$\tan \theta =-\sqrt{3}$ なら $1+3=4$ で $\cos \theta =-\frac{1}{2}$、$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、角は $120^{\circ }$ です。

直角三角形から読む手もある

$\tan \theta$ が分数なら、その分子と分母を 2 辺とする直角三角形が描けます。

$\tan \theta =\frac{3}{4}$ なら対辺 $3$、隣辺 $4$。斜辺は $\sqrt{3^2+4^2}=5$ になる。

鋭角ならこの読み方で終わりです。鈍角のときは、出てきた余弦に負号を付ける。

3 つの出発点を並べる

同じ関係式を使っていても、どの値から出発するかで答えの個数が変わります。

正接がいちばん情報を多く持っています。符号と大きさの両方を、1 つの値で伝えているため。

正接には符号という情報が含まれています。そのぶん、場合分けを 1 段省ける^[4]。

参考文献