掛けると必ず 1 になる tanθ と 1/tanθ の対称式・交代式

$tan θ$ と $\frac{1}{tan θ}$ は、掛けると必ず $1$ になります。積が最初から決まっている 2 つの数。

だから和さえ分かれば、 $2$ 乗の和も $3$ 乗の和も出せます。和と積で書き直すやり方が、積を $1$ に固定した形でそのまま使える。

さらに和のほうは $\frac{1}{sin θ cos θ}$ に等しくなる。正弦と余弦の話へつながっていきます。

逆数は余角の正接

$\frac{1}{tan θ}$ は余接と呼ばれ、 $cot θ$ と書かれます^[1]。

この値は $tan (9 0^{\circ} - θ)$ に等しい^[2]。つまり $θ$ の余角の正接。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… upper …)

$θ$ を $9 0^{\circ} - θ$ にとり替えると、 $tan θ$ と $\frac{1}{tan θ}$ が入れかわる。

この入れかえで形が変わらない式が対称式、符号だけが変わる式が交代式です^[3]。

和は正弦と余弦の積の逆数

$u = tan θ + \frac{1}{tan θ}$ を通分する。

$u = \frac{sin θ}{cos θ} + \frac{cos θ}{sin θ} = \frac{sin ^{2} θ + cos ^{2} θ}{sin θ cos θ}$

分子が $1$ になるので、次の形に落ちます^[4]。

$u = \frac{1}{sin θ cos θ}$

$sin θ cos θ$ を $p$ と書けば $u = \frac{1}{p}$ 。正弦と余弦の積が分かれば、正接の和もすぐ出る。

例：30 度で確かめる

$tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3} ≒ 0.5774$ 、 $\frac{1}{tan 3 0 ^{\circ}} = 3 ≒ 1.7321$ です。

足すと $2.3094$ になる。 $sin 3 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} = 0.5 \times 0.8660 = 0.4330$ で、その逆数が $2.3094$ 。

値が一致しました。 $6 0^{\circ}$ で計算しても $u$ は同じ $2.3094$ になります。

差は交代式になる

$v = tan θ - \frac{1}{tan θ}$ も同じように通分する。

$v = \frac{sin ^{2} θ - cos ^{2} θ}{sin θ cos θ}$

分子が引き算になった。 $θ$ を $9 0^{\circ} - θ$ に替えると $sin$ と $cos$ が入れかわるので、 $v$ は符号だけを変える。

$4 5^{\circ}$ では $tan θ$ と $\frac{1}{tan θ}$ がどちらも $1$ なので、 $v = 0$ になります。

2 乗の差はいつも 4

積が $1$ に固定されているので、和と差の 2 乗の差も動かない。

$u^{2} - v^{2} = (u + v) (u - v) = 2 tan θ \times \frac{2}{tan θ} = 4$

角がどこにあっても $u^{2} - v^{2} = 4$ です。 $u$ が分かれば $v$ の 2 乗もすぐ出る。

和と差の関係が角によらず固定されるのは、積が $1$ という特別な値だからです。

正弦と余弦のときは積が $p$ と動くので、こうはならない。

例：30 度で 2 乗の差を見る

$u = 2.3094$ 、 $v = 0.5774 - 1.7321 = - 1.1547$ 。

$u^{2} - v^{2} = 5.3333 - 1.3333 = 4.0000$

$6 0^{\circ}$ では $v = + 1.1547$ に変わりますが、 $2$ 乗すると同じ値。差は $4$ のままになります。

2 乗の和と 3 乗の和

積が $1$ なので、対称式の書き直しがとても短くなります。

$tan^{2} θ + \frac{1}{tan ^{2} θ} = u^{2} - 2, tan^{3} θ + \frac{1}{tan ^{3} θ} = u^{3} - 3 u$

和を $u$ 、積を $1$ として対称式の一般形に当てはめた結果になっている。

例：30 度で 2 乗と 3 乗の和

$tan^{2} 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{tan ^{2} 3 0 ^{\circ}} = 3$ なので、和は $\frac{10}{3} ≒ 3.3333$ 。

$u^{2} - 2 = 5.3333 - 2 = 3.3333$ になり、一致する。

$3$ 乗の和は $u^{3} - 3 u = 12.3168 - 6.9282 = 5.3886$ 。直接計算しても $0.1925 + 5.1962 = 5.3887$ で合います。

鋭角では和が 2 を下回らない

$tan θ > 0$ のとき、 $u = tan θ + \frac{1}{tan θ}$ は $2$ 以上になる。

理由は $2$ 乗の形にあります。 $(t - \frac{1}{t})^{2} ≧ 0$ を展開すると $t + \frac{1}{t} ≧ 2$ が出る。

等号が成り立つのは $t = 1$ 、つまり $θ = 4 5^{\circ}$ のとき。

鈍角では $tan θ$ が負なので、 $u$ は $- 2$ 以下になります。 $- 2$ から $2$ のあいだの値はとれない。

$tan θ + \frac{1}{tan θ} = 4$ のとき、 $sin θ cos θ$ の値はどれですか。

$\frac{1}{4}$
$4$
$\frac{1}{2}$

__RESULT__

和は $\frac{1}{sin θ cos θ}$ に等しいので、 $sin θ cos θ = \frac{1}{4}$ です。 $\frac{1}{2}$ は $sin θ cos θ$ がとれる最大の値で、 $θ = 4 5^{\circ}$ のときの値になります。

例：正弦と余弦の条件から出す

$sin θ + cos θ = \frac{1}{2}$ という条件から始めます。ここから $p = - \frac{3}{8}$ が出る。

$u = \frac{1}{p} = - \frac{8}{3} ≒ - 2.667$

$u$ が $- 2$ 以下なので、 $θ$ が鈍角だと確かめられます。

$v$ の 2 乗は $u^{2} - 4 = \frac{64}{9} - 4 = \frac{28}{9}$ になる。 $∣ v ∣ = \frac{2 7}{3} ≒ 1.764$ です。

$u = tan θ + \frac{1}{tan θ}$ とするとき、 $tan^{2} θ + \frac{1}{tan ^{2} θ}$ を $u$ で表したものはどれですか。

$u^{2}$
$u^{2} - 2$
$u^{2} + 2$

__RESULT__

$u^{2}$ を展開すると $tan^{2} θ + 2 + \frac{1}{tan ^{2} θ}$ になります。真ん中の $2$ は積が $1$ だから出てくる項で、これを引けば答えです。

$tan θ$ と $\frac{1}{tan θ}$ の組は、積が $1$ に固定された対称式の教材そのものになっています。和 $u$ を 1 つ手に入れれば、あとの式は $u$ の多項式で書ける。

参考文献

Eric W. Weisstein. *Cotangent*. MathWorld, Wolfram Research.

Right Triangle Trigonometry. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax.

Eric W. Weisstein. *Symmetric Polynomial*. MathWorld, Wolfram Research.

Steven Butler. Notes from Trigonometry. Section 5.4, The Pythagorean identities.

tanθ と 1/tanθ は積が最初から 1 に決まっているので、和 u を 1 つ手に入れれば 2 乗の和も 3 乗の和も u の多項式で書けます。しかも u は sinθcosθ の逆数に等しい。1/tanθ は 90 度マイナス θ の正接なので、θ を余角にとり替えると 2 つが入れかわります。この入れかえで形が変わらないのが対称式、符号だけ変わるのが交代式です。和と差の 2 乗の差はいつも 4 になる。鋭角では和が 2 を下回らず、等号は 45 度でとります。鈍角では逆に -2 以下になる。