直角でないと三平方の定理はどれだけずれるか？その差が余弦定理

直角三角形では $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ が成り立ちます。直角でない三角形では、この等式が崩れる。

$b$ と $c$ を固定したまま角 $A$ を開くと、向かいの辺 $a$ は長くなります。閉じれば短くなる。 $a^{2}$ が $b^{2} + c^{2}$ からどれだけずれるかを式にしたものが余弦定理です。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

垂線を下ろすと三平方の定理が 2 回使える

頂点 $B$ から辺 $C A$ に垂線を下ろし、その足を $H$ とします。

直角三角形 $A B H$ から $A H = c cos A$ と $B H = c sin A$ が出る。 $H$ は $A$ から $C$ の向きへ $c cos A$ だけ進んだ位置なので、 $H C = b - c cos A$ です。

残った直角三角形 $B H C$ に、もう一度三平方の定理を当てます。

$a^{2} = B H^{2} + H C^{2} = c^{2} sin^{2} A + (b - c cos A)^{2}$

展開すると $c^{2} sin^{2} A + c^{2} cos^{2} A$ が $c^{2}$ にまとまり、余弦定理の形になる。

鈍角では垂線が外に落ちる

$A$ が鈍角なら $cos A$ は負です。 $A H = c cos A$ も負になり、 $H$ は $A$ をはさんで $C$ の反対側にくる。

$H C = b - c cos A$ は $b$ より長くなり、 $a$ もその分だけ伸びます。計算の途中は鋭角のときと 1 行も変わりません。

長さを正の数だけで扱うなら、鋭角と鈍角で場合分けが要ります。 $cos$ に符号を持たせると、その分岐が式のなかに吸収される。

ずれの大きさが $- 2 b c cos A$

$A = 9 0^{\circ}$ を入れると $cos 9 0^{\circ} = 0$ で、最後の項が消える。

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

三平方の定理は余弦定理の特別な場合になる。 $- 2 b c cos A$ は、直角からどれだけ外れたかをそのまま測っている項です。

$A$ が鋭角なら $cos A > 0$ なので $a^{2}$ は $b^{2} + c^{2}$ より小さく、鈍角なら大きくなる。

例：60 度と 120 度で比べる

$b = 4$ 、 $c = 3$ を固定して $A$ を変えます。 $b^{2} + c^{2} = 25$ です。

$A = 6 0^{\circ}$ なら $cos A = \frac{1}{2}$ で $a^{2} = 25 - 12 = 13$ 。 $a = 13 ≒ 3.61$ 。

$A = 9 0^{\circ}$ なら $a^{2} = 25$ で $a = 5$ 。 $A = 12 0^{\circ}$ なら $cos A = - \frac{1}{2}$ で $a^{2} = 25 + 12 = 37$ 、 $a = 37 ≒ 6.08$ です。

同じ 2 辺でも、挟む角が 60 度から 120 度へ開くと向かいの辺は 3.61 から 6.08 まで伸びる。

3 辺だけで角の種類が分かる

$a^{2}$ と $b^{2} + c^{2}$ を比べるだけで、 $A$ の種類は決まる。 $cos A$ の符号がそのまま大小に出るためです。

$b = 4$ 、 $c = 5$ とすると $b^{2} + c^{2} = 41$ 。 $a = 6$ なら $36 < 41$ で $A$ は鋭角、 $a = 7$ なら $49 > 41$ で鈍角と分かる。

角の値を求めずに、鋭角三角形か鈍角三角形かだけを判定できる。

原論では長方形だった

余弦定理は $cos$ という記号ができる前からありました。ユークリッドの『原論』第 2 巻の命題 12 と命題 13 がそれにあたります^[1]。

命題 12 は鈍角三角形の話です。鈍角の向かいの辺の上の正方形は、鈍角をはさむ 2 辺の上の正方形の和より大きく、その差は「垂線が落ちる側の辺と、垂線が外に切りとった線分とでつくる長方形の 2 倍」だと述べています。

切りとった線分は $- c cos A$ にあたり、長方形の 2 倍が $- 2 b c cos A$ です。 $cos$ を使わずに、同じ量を面積として言っている。

命題 13 は鋭角三角形で、こちらは正方形の和より小さくなり、切りとる線分は内側です。どちらの証明も垂線を下ろして三平方の定理を 2 回使う形で、上でたどった道すじと変わりません。

三角関数を使った形にまとめたのは 15 世紀サマルカンドのアル・カーシーだとされ、フランス語圏ではいまも「アル・カーシーの定理」と呼びます^[2]。

まちがえやすい点

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ の $A$ は、 $b$ と $c$ にはさまれた角です。添字をずらすときは 3 文字とも同時にずらす。

鈍角のときに $- 2 b c cos A$ の符号を手で反転させる誤りが起きる。 $cos A$ 自体が負なので、式はそのままで足し算になる。

$a^{2}$ を出したところで止まる誤りも多い。 $a$ を求めるなら、最後に平方根まで戻します。

$b = 5$ 、 $c = 8$ 、 $A = 12 0^{\circ}$ のとき、 $a^{2}$ はいくつですか。

$129$
$49$
$89$

__RESULT__

$b^{2} + c^{2} = 89$ です。 $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ なので $- 2 b c cos A = + 40$ となり、 $a^{2} = 89 + 40 = 129$ になります。 $49$ は符号を逆にした値、 $89$ は $cos$ の項を落とした値です。

$b$ と $c$ を決めても、挟む角が決まるまで $a$ は定まりません。 $- 2 b c cos A$ は、その挟む角のぶんをひとつの項に引き受けた形です。

参考

Euclid's Elements, Book II, Proposition 12 および Proposition 13. D E Joyce 編, Clark University.

Formule d'al-Kashi, loi des cosinus. BibM@th.

$b$ と $c$ を決めても、挟む角しだいで向かいの辺は変わります。$b = 4$、$c = 3$ なら $A = 60^\circ$ で $a \fallingdotseq 3.61$、$120^\circ$ で $6.08$ まで伸びる。頂点から垂線を下ろすと $AH = c\cos A$ が出て、直角三角形に三平方の定理を 2 回当てると $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ になります。鈍角では垂線が外に落ちますが、$\cos$ の符号が場合分けを吸収する。$a^2$ と $b^2 + c^2$ の大小から角の種類が分かる話と、$\cos$ のない時代に『原論』が同じことを長方形の面積で述べていた話まで。