値が 1 を超えない理由〜0 度から 180 度での三角比の符号と値域

$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ まで角を動かすと、$\sin \theta$ は $0$ から $1$ へ上がり、また $0$ へ戻ります。$\cos \theta$ は $1$ から $-1$ へ下がりっぱなし。

動き方が違うので、値から角を求めたときの答えの個数も変わる。$\sin \theta =0.8$ なら角は 2 つ、$\cos \theta =0.8$ なら 1 つです。

正接だけは $90^{\circ }$ で切れます。値域も、答えの個数も、この 3 つで別々に押さえる。

符号は座標の符号がそのまま出る

単位円の点 $P$ の座標が $(\cos \theta ,\sin \theta )$ でした。だから符号は、$P$ がどの象限にいるかで決まる^[1]。

$0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ なら $P$ は右上、$90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$ なら左上にある。

正弦は $y$ 座標なので、上半分にいるあいだはずっと正です。余弦と正接だけが $90^{\circ }$ を境に負へ落ちる^[2]。

例：符号だけで答えを絞る

$\cos \theta =-0.42$ という値を見た時点で、$\theta$ が鈍角だと決まる。

$\tan \theta =2.5$ なら、正なので鋭角。$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ という範囲では、正接が正になるのは第 1 象限だけです。

計算する前に符号を見る。それだけで、答えが半分に絞れる。

正弦は 0 から 1 まで

$P$ が上半分を動くあいだ、$y$ 座標は $0$ から $1$ まで上がり、$1$ から $0$ まで下がる。

$$0\leqq \sin \theta \leqq 1(0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ })$$

$1$ を超えることはありません。座標が円の外へ出ないため^[3]。

山の形なので、$0$ と $1$ のあいだの高さには 2 か所で届きます。$90^{\circ }$ をはさんで左右に 1 つずつ。

例：正弦の値から角を出すと 2 つ出る

$\sin \theta =0.8$ とします。表を引くと $\theta \fallingdotseq 53.1^{\circ }$ が見つかる。

もう 1 つは $180^{\circ }-53.1^{\circ }=126.9^{\circ }$。$\sin 126.9^{\circ }$ も $0.8$ になります。

問題文に「鋭角」や「鈍角」という条件がなければ、答えは 2 つ書く。片方だけでは足りない。

余弦は 1 から -1 まで下がり続ける

$x$ 座標は右端の $1$ から左端の $-1$ まで、途中で戻らずに減ります^[3]。

$$-1\leqq \cos \theta \leqq 1(0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ })$$

減り続けるので、同じ値を 2 度とることがない。だから $\cos \theta =k$ の答えは、必ず 1 つに決まります。

正弦のときのように「もう 1 つの角」を探す必要はありません。減り続けるグラフと水平線は 1 回しか交わらない。

例：余弦の値から角を出す

$\cos \theta =-\frac{1}{2}$ とします。負なので鈍角と分かる。

$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ なので、符号を変えた角は $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ です。答えは $120^{\circ }$ の 1 つだけ。

$\cos \theta =0.6$ なら $\theta \fallingdotseq 53.1^{\circ }$。こちらも 1 つで終わります。

正接は上にも下にも限りがない

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ なので、$\cos \theta$ が $0$ に近づくと値が発散する。

$\theta$ が $90^{\circ }$ より小さい側から近づくと $\cos \theta$ は正のまま $0$ へ向かい、正接は $+\infty$ へ。$90^{\circ }$ を過ぎると $\cos \theta$ が負になり、正接は $-\infty$ から戻ってきます。

枝は 2 本に分かれますが、同じ値を 2 度とることはありません。左の枝が正の値、右の枝が負の値を受け持つ。

正接の値域は実数全体です。ただし $\theta =90^{\circ }$ だけは定義されません^[4]。

例：正接の値から角を出す

$\tan \theta =-1$ とする。負なので鈍角。

$\tan 45^{\circ }=1$ なので、$180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$ が答え。正弦のときと違って、もう 1 つを探す手間はありません。

$\tan \theta =\sqrt{3}$ なら $60^{\circ }$、$\tan \theta =-\sqrt{3}$ なら $120^{\circ }$。どれも 1 つずつ決まります。

3 つを並べて見る

同じ範囲での振る舞いを、まとめて置く。

答えの個数が違うところが、いちばん間違えやすい点です。正弦の方程式だけは、いつも 2 つを疑う。

端の 3 つの角

$0^{\circ }$、$90^{\circ }$、$180^{\circ }$ は直角三角形に入りません。座標で読めば値が決まる。

$\cos 180^{\circ }=-1$ は、この範囲で余弦がとる最小の値です。$\sin 90^{\circ }=1$ は正弦の最大値になる。

例：値と符号から残りを決める

$\sin \theta =\frac{3}{5}$ で、$\theta$ が鈍角とします。

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ から ${\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ になる。

$$\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$$

鈍角なので余弦は負。$\cos \theta =-\frac{4}{5}$ に決まります。符号は、値域ではなく象限が決める。

値の範囲と符号は、単位円の上半分をなぞるだけで思い出せます。図を描き直すほうが、表を覚えるより速い。

参考文献