和が分かれば積も出る（sinθ+cosθ と sinθcosθ の対称式）

$sin θ + cos θ = \frac{1}{2}$ という条件だけで、 $sin θ cos θ$ も $sin^{3} θ + cos^{3} θ$ も決まります。

角そのものは求めません。両辺を 2 乗して、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使うだけ^[1]。

$sin θ$ と $cos θ$ を入れかえても形の変わらない式が、この計算で扱える対象になる。

入れかえても変わらない式

$x + y$ や $x y$ は、 $x$ と $y$ を入れかえても同じ式のまま。こうした式を対称式と呼びます^[2]。

$x^{2} + y^{2}$ も $x^{3} + y^{3}$ も対称式。一方 $x - y$ は入れかえると符号が変わるので、対称式ではない。

対称式は、和 $x + y$ と積 $x y$ の 2 つだけで書き直せます^[2]。この 2 つが土台になる。

三角比では $sin^{2} θ + cos^{2} θ$ が $1$ に固定されています。ここが普通の文字式と違う点になる。

和を 2 乗すると積が出てくる

$s = sin θ + cos θ$ と置きます。両辺を 2 乗して展開する。

$s^{2} = sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ$

$sin^{2} θ + cos^{2} θ$ の部分が $1$ になるので、式が短くなります^[3]。

$s^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$

正方形の面積を 4 枚に分けた図です。青と緑を足すと $1$ になり、残る 2 枚が $2 sin θ cos θ$ を表す。

積のほうを $p$ と書けば、 $s^{2} = 1 + 2 p$ 。これを移項すると $p$ が出ます。

$p = \frac{s ^{2} - 1}{2}$

例：和が 1/2 のとき積を出す

$s = \frac{1}{2}$ を代入する。

$p = \frac{( \frac{1}{2} ) ^{2} - 1}{2} = \frac{\frac{1}{4} - 1}{2} = - \frac{3}{8}$

積が負なので、 $sin θ$ と $cos θ$ の符号が違うと分かる。この範囲では $sin θ$ が正なので、 $cos θ$ が負、つまり $θ$ は鈍角です。

差の 2 乗も同じ材料で出る

$(sin θ - cos θ)^{2}$ を展開すると、真ん中の項の符号だけが変わる。

$(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 p$

和の 2 乗が $1 + 2 p$ 、差の 2 乗が $1 - 2 p$ 。足すと $2$ になり、引くと $4 p$ になる。

例：差の絶対値を出す

さきほどの $p = - \frac{3}{8}$ を使う。

$(sin θ - cos θ)^{2} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$∣ sin θ - cos θ ∣ = \frac{7}{2} ≒ 1.323$ になる。

差そのものの符号は、これだけでは決まりません。鈍角なら $sin θ > 0 > cos θ$ なので差は正になる。

3 乗の和

$x^{3} + y^{3} = (x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$ という展開を使います。文字を三角比に置きかえる。

$sin^{3} θ + cos^{3} θ = s^{3} - 3 p s$

$s^{2} = 1 + 2 p$ を使うと、もっと短い形になります。

$s^{3} - 3 p s = s (s^{2} - 3 p) = s (1 + 2 p - 3 p) = s (1 - p)$

例：3 乗の和を出す

$s = \frac{1}{2}$ 、 $p = - \frac{3}{8}$ を代入する。

$sin^{3} θ + cos^{3} θ = \frac{1}{2} (1 + \frac{3}{8}) = \frac{1}{2} \times \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$

$\frac{11}{16} = 0.6875$ です。展開の形から入っても同じ値が出る。

$s$ と $p$ さえ手元にあれば、何乗の和でも順に作れるようになります。

$4$ 乗なら $2$ 乗の結果を、 $5$ 乗なら $3$ 乗の結果を土台にする。

4 乗の和は積だけで決まる

$sin^{4} θ + cos^{4} θ$ を、 $2$ 乗の和から作る。

$sin^{4} θ + cos^{4} θ = (sin^{2} θ + cos^{2} θ)^{2} - 2 sin^{2} θ cos^{2} θ = 1 - 2 p^{2}$

$s$ が消えて $p$ だけが残りました。偶数乗では和の情報が要らなくなる。

例：4 乗の和を出す

$p = - \frac{3}{8}$ なので $p^{2} = \frac{9}{64}$ 。

$1 - 2 \times \frac{9}{64} = 1 - \frac{9}{32} = \frac{23}{32}$

$\frac{23}{32} = 0.71875$ 。 $4$ 乗の和は、いつも $\frac{1}{2}$ 以上 $1$ 以下に収まります。

s のとりうる範囲

$(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 p$ は $2$ 乗なので、 $0$ 以上です。だから $p ≦ \frac{1}{2}$ 。

$s^{2} = 1 + 2 p$ に入れると $s^{2} ≦ 2$ になり、 $∣ s ∣ ≦ 2$ が出ます^[3]。

$0^{\circ}$ から $18 0^{\circ}$ に限ると、下側にも制限が付きます。 $sin θ ≧ 0$ かつ $cos θ ≧ - 1$ なので、 $s ≧ - 1$ ^[4]。

まとめると $- 1 ≦ s ≦ 2$ です。上限は $θ = 4 5^{\circ}$ 、下限は $θ = 18 0^{\circ}$ でとる。

$sin θ + cos θ = 2$ のとき、 $sin θ cos θ$ の値はどれですか。

$\frac{1}{2}$
$0$
$1$

__RESULT__

$p = \frac{s ^{2} - 1}{2} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$ です。 $s$ が上限の $2$ なので $θ = 4 5^{\circ}$ にあたり、 $sin 4 5^{\circ} cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}$ と直接計算しても合います。

例：値から角を決める

$s = 2$ なら $p = \frac{1}{2}$ でした。 $(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 1 = 0$ なので、 $sin θ = cos θ$ 。

この範囲で正弦と余弦が等しくなるのは $4 5^{\circ}$ だけです。

$s = 1$ の場合は $p = 0$ になる。積が $0$ なので、 $sin θ$ か $cos θ$ の一方が $0$ です。答えは $0^{\circ}$ と $9 0^{\circ}$ の 2 つ。

$sin θ + cos θ = \frac{1}{2}$ のとき、 $sin^{3} θ + cos^{3} θ$ の値はどれですか。

$\frac{1}{8}$
$\frac{11}{16}$
$\frac{5}{8}$

__RESULT__

$p = - \frac{3}{8}$ なので、 $s (1 - p) = \frac{1}{2} \times \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$ です。 $\frac{1}{8}$ は $s^{3}$ の値で、 $3 p s$ を引き忘れた場合の答えになります。

条件が和で与えられても積で与えられても、 $s$ と $p$ の一方が決まればもう一方も決まります。あとは作りたい式を $s$ と $p$ で書き直すだけ。

出典

Steven Butler. Notes from Trigonometry. Section 5.4, The Pythagorean identities.

Eric W. Weisstein. *Symmetric Polynomial*. MathWorld, Wolfram Research.

Section 4.21, Identities. NIST Digital Library of Mathematical Functions.

*Trigonometric functions*. Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society.

sinθ + cosθ = 1/2 という条件だけで、sinθcosθ も 3 乗の和も 4 乗の和も決まります。角そのものは求めません。和を 2 乗して sin の 2 乗 + cos の 2 乗 = 1 を使うと、s の 2 乗 = 1 + 2p が出る。あとは作りたい式を s と p で書き直すだけです。1 辺が sin + cos の正方形を 4 枚に切る図で、この関係が面積として見えます。差の 2 乗が 1 - 2p になること、3 乗の和が s(1-p) にまとまること、4 乗の和からは s が消えること、s のとりうる範囲が -1 以上 2 の平方根以下になる理由まで。