鈍角の sin はどこから来るのか？三角比を座標と単位円で定義し直す

直角三角形に入る角は $0^{\circ }$ より大きく $90^{\circ }$ より小さい角だけです。$120^{\circ }$ の三角比は、この定義では書けない。

けれど三角形の内角には鈍角があります。鈍角三角形を扱うなら、鈍角の正弦と余弦が要る^[1]。

そこで定義を作り直す。図形の比という言い方をやめて、座標に置きかえます^[2]。

直角三角形は 90 度で行き止まり

直角三角形の内角の和は $180^{\circ }$ で、そのうち $90^{\circ }$ は直角が使います。残る 2 つの角の和は $90^{\circ }$ しかない。

だからどちらの角も $90^{\circ }$ 未満。$120^{\circ }$ を入れる場所がありません。

見上げた角や見下ろした角なら $90^{\circ }$ 未満で足ります。三角形の内角を相手にした時点で足りなくなる。

角を座標の上に置く

原点を中心にした半径 $1$ の円をとります。この円を単位円と呼ぶ。

$x$ 軸の正の向きを始まりとして、そこから反時計回りに角 $\theta$ だけ回した半直線を引きます。半直線と円の交点を $P$ とする。

$P$ の $x$ 座標を $\cos \theta$、$y$ 座標を $\sin \theta$ と決めます^[3]。これが新しい定義。

回す角に上限はありません。$90^{\circ }$ を過ぎても点は円の上を進み続ける。

鋭角なら前の定義と一致する

定義を 2 つ持つことになりました。両方が同じ値を返さないと、話がつながらない^[1]。

$\theta$ が鋭角のとき、$P$ から $x$ 軸へ垂線を下ろします。原点と $P$ と垂線の足で直角三角形ができる。

斜辺が $1$ なので、隣辺を斜辺で割っても値は変わりません。分母が $1$ の割り算だから^[1]。

つまり $\cos \theta =\frac{x}{1}=x$、$\sin \theta =\frac{y}{1}=y$。鋭角では 2 つの定義が同じ数を返します。

例：45 度で突き合わせる

三角形で出した値は $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ でした。

単位円では、$45^{\circ }$ の半直線が $y=x$ の直線と重なります。円との交点は $x^2+x^2=1$ を満たす。

$$x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

交点は $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。三角形から出した値と一致しました。

鈍角では x 座標が負になる

$\theta$ が $90^{\circ }$ を超えると、点 $P$ は左上へ移ります。$y$ は正のまま、$x$ が負になる^[4]。

長さで定義していたころは、負の値が出る余地がありませんでした。座標に移したことで、符号を持てるようになる。

正弦は正のまま、余弦だけが負に変わります。正接は $\frac{y}{x}$ なので、こちらも負になる。

例：120 度の値

$120^{\circ }$ の半直線と単位円の交点は $\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

$$\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2},\tan 120^{\circ }=-\sqrt{3}$$

$\sin 120^{\circ }$ が $\sin 60^{\circ }$ と同じ値になりました。$\cos 120^{\circ }$ は $\cos 60^{\circ }$ の符号を変えた値になる。

例：135 度と 150 度

$135^{\circ }$ の交点は $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$、$150^{\circ }$ の交点は $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ です。

$$\tan 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=-1,\tan 150^{\circ }=\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

どちらも $45^{\circ }$ と $30^{\circ }$ の値に負号が付いた形。$x$ 座標が負に反転したことが、そのまま符号に出ています。

正接は原点を通る直線の傾き

$\tan \theta =\frac{y}{x}$ は、原点と $P$ を結ぶ直線の傾きそのもの^[4]。

角が大きくなると直線は反時計回りに倒れます。傾きの変わり方が、正接の値の変わり方になる。

$45^{\circ }$ なら傾き $1$、$60^{\circ }$ なら $\sqrt{3}$、$135^{\circ }$ なら $-1$ です。直線の見た目とそのまま対応している。

90 度で正接だけが決まらない

$\theta =90^{\circ }$ の交点は $(0,1)$ です。$\sin 90^{\circ }=1$、$\cos 90^{\circ }=0$ と読める。

正接は $\frac{1}{0}$ になります。$0$ で割る計算は定義されないので、$\tan 90^{\circ }$ は値を持たない^[2]。

例：0 度、90 度、180 度

境目の 3 つは、交点を読むだけで済む。

$\tan 0^{\circ }=0$、$\tan 180^{\circ }=0$ です。$x$ 軸に重なる直線なので、傾きが $0$ になる。

半径が 1 でなくてもよい

単位円を使うのは値がそのまま読めるからで、条件ではありません。半径 $r$ の円でも同じ値が出る。

点の座標を $(x,y)$、原点からの距離を $r=\sqrt{x^2+y^2}$ とします。

$$\sin \theta =\frac{y}{r},\cos \theta =\frac{x}{r},\tan \theta =\frac{y}{x}$$

$r$ で割ることが、単位円まで縮める操作にあたります。倍率は比の中で消える。

例：点 (-3, 4) が決める角

原点とこの点を結ぶ半直線が、$x$ 軸の正の向きとつくる角を $\theta$ とします。

$r=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。

$$\sin \theta =\frac{4}{5},\cos \theta =-\frac{3}{5},\tan \theta =-\frac{4}{3}$$

余弦が負なので $\theta$ は鈍角。$\cos \theta =-0.6$ から、およそ $126.9^{\circ }$ と分かります。

例：点 (-1, 1) と点 (1, 1)

$(1,1)$ は $y=x$ の上にあり、角は $45^{\circ }$ です。$(-1,1)$ は $y=-x$ の上にあり、角は $135^{\circ }$。

どちらも $r=\sqrt{2}$ で、正弦は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ と同じ値になります。余弦だけが符号で分かれる。

辺の長さでは負の数が出せない。座標へ移したことで、$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ までがひと続きにつながりました。

出典