90 度足す θ の三角比は覚えずに済む……余角と補角の合わせ技

$\sin 110^{\circ }$ は $\cos 20^{\circ }$ と同じ $0.9397$。$\cos 110^{\circ }$ は $\sin 20^{\circ }$ に負号を付けた $-0.3420$ です。

$110^{\circ }$ を $90^{\circ }+20^{\circ }$ と見ると、この形が出てきます^[1]。$180^{\circ }-70^{\circ }$ と見ても、行き着く先は同じ点。

単位円で 4 分の 1 だけ回す操作にあたる。座標がどう動くかを追えば、公式は書き写す必要がありません。

90 度足すと点が 4 分の 1 回る

角に $90^{\circ }$ を足すことは、単位円の点を反時計回りに直角ぶん回すこと。

回すだけなので、原点からの距離は $1$ のまま。変わるのは向きだけになる。

もとの点が右上にあれば、回した先は左上です。$x$ が負の側へ移る。

座標がそのまま入れかわる

点 $(x,y)$ を反時計回りに $90^{\circ }$ 回すと $(-y,x)$ に移ります。縦だった値が横へ、横だった値が縦へ動く。

$\theta$ の点は $(\cos \theta ,\sin \theta )$ なので、$90^{\circ }+\theta$ の点は $(-\sin \theta ,\cos \theta )$ になる。

$$\sin (90^{\circ }+\theta )=\cos \theta ,\cos (90^{\circ }+\theta )=-\sin \theta ,\tan (90^{\circ }+\theta )=-\frac{1}{\tan \theta }$$

正弦と余弦が入れかわり、そのうち余弦の側に負号が付く形です^[1]。

例：110 度、100 度、160 度

$110^{\circ }=90^{\circ }+20^{\circ }$。$\sin 110^{\circ }=\cos 20^{\circ }=0.9397$、$\cos 110^{\circ }=-\sin 20^{\circ }=-0.3420$ になる。

$100^{\circ }=90^{\circ }+10^{\circ }$ なので $\sin 100^{\circ }=\cos 10^{\circ }=0.9848$。$\cos 100^{\circ }=-\sin 10^{\circ }=-0.1736$ です。

$160^{\circ }=90^{\circ }+70^{\circ }$ から $\sin 160^{\circ }=\cos 70^{\circ }=0.3420$ が出る。

余角と補角を続けて使っても同じ

$90^{\circ }+\theta$ は、$180^{\circ }-(90^{\circ }-\theta )$ と書き直せる。

つまり余角をとってから補角をとる、という 2 段の操作と同じになる。新しい公式ではなく、既にある 2 つの組み合わせです。

どちらの道を通っても $\cos 20^{\circ }$ に着きます。公式を 1 つ増やして覚える必要はない。

左端から測れば $70^{\circ }$、右端から測れば $110^{\circ }$。同じ点を 2 通りに言い表しているだけになる。

例：2 つの道すじで 130 度を出す

$130^{\circ }=90^{\circ }+40^{\circ }$ と見ると $\sin 130^{\circ }=\cos 40^{\circ }=0.7660$。

$130^{\circ }=180^{\circ }-50^{\circ }$ と見れば $\sin 130^{\circ }=\sin 50^{\circ }=0.7660$ になる。

$\cos 40^{\circ }$ と $\sin 50^{\circ }$ は余角どうしなので同じ値。どちらの表記でも正解です。

正接は逆数に負号が付く

$\tan (90^{\circ }+\theta )=-\frac{1}{\tan \theta }$ は、余角のときの逆数に負号を足した形になります^[2]。

もとの直線と、$90^{\circ }$ 回した直線は垂直に交わる。垂直な 2 直線では、傾きの積が $-1$ になります。

$\tan 32^{\circ }=0.6249$、$\tan 122^{\circ }=-1.6003$ です。掛けると $-1.0000$ になる。

例：tan110 度を出す

$\tan 20^{\circ }=0.3640$ です。逆数は $2.747$ になる。

$$\tan 110^{\circ }=-\frac{1}{\tan 20^{\circ }}=-2.747$$

補角で確かめると $\tan 110^{\circ }=-\tan 70^{\circ }$ で、$\tan 70^{\circ }=2.747$。値が一致しました。

90 度足すと 90 度引くで正弦が同じ

$\sin (90^{\circ }+\theta )$ も $\sin (90^{\circ }-\theta )$ も $\cos \theta$ になる。どちらも同じ値です。

理由は 2 つの角の和にあります。$(90^{\circ }+\theta )+(90^{\circ }-\theta )=180^{\circ }$ なので、この 2 つは補角どうし。

補角では正弦が変わらないので、値がそろう。$90^{\circ }$ をはさんで左右に同じだけ離れた角だから、と言いかえてもよい。

例：70 度と 110 度

$\sin 70^{\circ }=0.9397$、$\sin 110^{\circ }=0.9397$ です。どちらも $\cos 20^{\circ }$ に等しい。

余弦のほうは $\cos 70^{\circ }=0.3420$、$\cos 110^{\circ }=-0.3420$ で、符号が分かれる。

どんな角も 0 度から 90 度へ戻せる

$90^{\circ }$ 単位で角を切り出していくと、どの角も鋭角の三角比に還元できます^[3]。

$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ を扱う範囲では、補角と $90^{\circ }$ 足しの 2 つで足りる^[4]。

例：表の中へ戻す

$\cos 155^{\circ }$ を鋭角へ移します。$155^{\circ }=90^{\circ }+65^{\circ }$ なので $-\sin 65^{\circ }=-0.9063$。

$180^{\circ }-155^{\circ }=25^{\circ }$ からも計算できます。$-\cos 25^{\circ }=-0.9063$ で、同じ値になる。

どちらの分解でも構造は同じ。使いやすいほうを選べば済みます。

$90^{\circ }$ 足しの公式は、単位円を直角ぶん回すという 1 つの操作を式にしたものです。回せば横と縦が交代する。それだけの内容になっている。

参考文献