sin40 度より tan40 度が大きい理由と三角比の大小比較

$\sin 40^{\circ }$、$\cos 40^{\circ }$、$\tan 40^{\circ }$ を小さい順に並べると $0.643$、$0.766$、$0.839$ になります。正弦、余弦、正接の順。

ところが $20^{\circ }$ では順番が変わる。$0.342$、$0.364$、$0.940$ で、正弦、正接、余弦の順になります。

どの角で入れかわるのか。単位円を 1 つ描けば、表を引かずに決まります。

同じ角の 3 つを比べる

単位円の上の点 $P$ をとると、$\cos \theta$ は横の座標、$\sin \theta$ は縦の座標です^[1]。

$P$ が右寄りなら横が長く、上寄りなら縦が長い。だから 2 つの大小は、$P$ の位置を見るだけで決まる。

正接は $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ という割り算なので、座標を直接読むわけにはいかない。

45 度が正弦と余弦の分かれ目

$P$ が $45^{\circ }$ の位置にいるとき、横と縦がちょうど同じ長さになります。$y=x$ の直線と円が交わる点だから。

そこから左へ回ると縦が伸び、横が縮む。$45^{\circ }$ より大きい角では正弦のほうが大きくなります。

$0^{\circ }<\theta <45^{\circ }$ なら $\sin \theta <\cos \theta$、$45^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ なら $\cos \theta <\sin \theta$ になる。

例：20 度と 65 度で確かめる

$20^{\circ }$ は $45^{\circ }$ より小さいので、余弦のほうが大きいはず。実際に $\sin 20^{\circ }=0.342$、$\cos 20^{\circ }=0.940$ です。

$65^{\circ }$ は $45^{\circ }$ より大きいので逆になる。$\sin 65^{\circ }=0.906$、$\cos 65^{\circ }=0.423$ でした。

$45^{\circ }$ からどちら側かを見るだけ。表を引かずに答えが出ます。

正接は正弦より必ず大きい

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ という形を見ます。鋭角では $0<\cos \theta <1$ なので、$1$ より小さい数で割っている。

割ると値は増えます。だから $0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$ ではつねに $\sin \theta <\tan \theta$ が成り立つ。

3 つの並びは 3 通りに分かれる

正接と余弦の大小だけが、角によって入れかわります。ここが並びを決める分かれ目になる。

3 つのグラフを重ねれば、交わる場所がそのまま境目として読める^[3]。

正弦はつねに正接より小さいので、いちばん下か真ん中です。上に来るのは余弦か正接のどちらか。

正接と余弦が並ぶ角

$\tan \theta =\cos \theta$ となる角を探します。左辺を分数に直して両辺に $\cos \theta$ を掛ける。

$$\sin \theta ={\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$$

$\sin \theta$ を $s$ と置くと $s^2+s-1=0$ になります。解の公式から $s=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\fallingdotseq 0.618$。

黄金比の逆数にあたる値が出てきました。角にすると $\theta \fallingdotseq 38.2^{\circ }$。

$45^{\circ }$ より大きければ、余弦、正弦、正接の順に決まる。

例：30 度と 40 度で並びが違う

$30^{\circ }$ では $\sin =0.500$、$\tan =0.577$、$\cos =0.866$。正接が真ん中に入る。

$40^{\circ }$ では $\sin =0.643$、$\cos =0.766$、$\tan =0.839$。正接が上へ抜けた。

$38.2^{\circ }$ をまたいだので、余弦と正接が入れかわっています。

鈍角では負どうしを比べる

$90^{\circ }$ を超えると余弦と正接が負になります^[4]。正弦は正のままなので、いちばん大きい。

負の数どうしでは、絶対値が大きいほうが小さくなる。ここで並びがもう一度分かれます。

$120^{\circ }$ では $\tan =-1.73$、$\cos =-0.50$、$\sin =0.87$ の順。$150^{\circ }$ では $\cos =-0.87$、$\tan =-0.58$、$\sin =0.50$ の順です。

入れかわりは $180^{\circ }-38.2^{\circ }=141.8^{\circ }$ で起きる。鋭角側と同じ方程式から出る角だからです。

同じ関数で角を変える

角どうしの比較は、グラフの上下を読むだけで済みます。正弦は $90^{\circ }$ まで上がり、そこから下がる。

余弦は最初から最後まで下がり続けます^[2]。だから角が大きいほど余弦は小さい。

正弦だけは山なので、$90^{\circ }$ をはさんだ 2 つの角で同じ値になることがあります。

例：角どうしを並べる

$\sin 20^{\circ }=0.342$ と $\sin 70^{\circ }=0.940$ を比べると、$70^{\circ }$ のほうが大きい。$90^{\circ }$ に近いほど正弦は大きくなります。

$\cos 20^{\circ }=0.940$ と $\cos 70^{\circ }=0.342$ では逆です。余弦は角が大きいほど小さい。

$\sin 100^{\circ }$ と $\sin 80^{\circ }$ はどちらも $0.985$ で、ぴったり等しくなる。$90^{\circ }$ から同じだけ離れているためです。

手順にまとめる

比べる前に見る順序を決めておくと、迷いが減ります。

角どうしを比べるときは、正弦なら $90^{\circ }$ からの距離、余弦なら角そのものを見れば決まる。

値を思い出せなくても、単位円とグラフの形が残っていれば順番は決まります。覚えるのは形のほうでよい。

出典