sin70 度と cos20 度が同じ値になる余角の公式｜高校数学の三角比

$\sin 70^{\circ }$ と $\cos 20^{\circ }$ は、どちらも $0.940$ です。$\sin 25^{\circ }$ と $\cos 65^{\circ }$ も同じ $0.423$。

足して $90^{\circ }$ になる角どうしで、正弦と余弦が入れかわる。表を見比べると、上から読んだ列と下から読んだ列がぴったり重なります。

理由は直角三角形を 1 つ描けば見えます。角をとり替えて読むだけの話。

2 つの鋭角は足して 90 度

三角形の内角の和は $180^{\circ }$。直角三角形では $90^{\circ }$ を直角が使うので、残る 2 つの鋭角の和も $90^{\circ }$ になる^[1]。

一方を $\theta$ とすれば、もう一方は $90^{\circ }-\theta$。この $90^{\circ }-\theta$ を $\theta$ の余角と呼びます^[2]。

余弦と余接という名前の「余」は、この余角を指す。

左の三角形で対辺だった辺が、右では隣辺になっています。斜辺だけは動かない。

対辺と隣辺が入れかわる

$\theta$ から見た対辺は、$90^{\circ }-\theta$ から見れば隣辺です^[1]。斜辺は共通なので、割り算の分母は変わらない。

$$\sin \theta =\frac{a}{c},\cos (90^{\circ }-\theta )=\frac{a}{c}$$

同じ分数を、違う角の名前で呼んでいるだけ。

3 つの公式にまとめる

正弦と余弦は入れかわり、正接は逆数になります^[3,4]。

$$\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta ,\cos (90^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,\tan (90^{\circ }-\theta )=\frac{1}{\tan \theta }$$

正接だけ形が違うのは、分子と分母がそっくり入れかわるためです。$\frac{a}{b}$ が $\frac{b}{a}$ になる。

例：70 度と 20 度

$70^{\circ }+20^{\circ }=90^{\circ }$ なので、この 2 つは余角どうし。

$$\sin 70^{\circ }=\cos 20^{\circ }=0.9397,\cos 70^{\circ }=\sin 20^{\circ }=0.3420$$

表を引くときに、どちらか片方が載っていれば足りる。

例：65 度と 25 度、50 度と 40 度

$\cos 65^{\circ }=\sin 25^{\circ }=0.4226$ になります。$\sin 65^{\circ }=\cos 25^{\circ }=0.9063$。

$50^{\circ }$ と $40^{\circ }$ も余角どうし。$\sin 50^{\circ }=\cos 40^{\circ }=0.7660$ になる。

角が $45^{\circ }$ に近づくと、正弦と余弦の値も近づきます。$45^{\circ }$ ちょうどで一致する。

正接どうしは掛けて 1

$\tan (90^{\circ }-\theta )=\frac{1}{\tan \theta }$ を移項すると、掛け算の形になる。

$$\tan \theta \times \tan (90^{\circ }-\theta )=1$$

$\tan 50^{\circ }=1.1918$、$\tan 40^{\circ }=0.8391$ です。掛けると $1.0000$ になる。

一方が分かればもう一方も出るので、正接の表も半分で足ります。

単位円では対称移動になる

角 $\theta$ の点は $(\cos \theta ,\sin \theta )$ でした。余角 $90^{\circ }-\theta$ の点は $(\sin \theta ,\cos \theta )$。

$x$ 座標と $y$ 座標が入れかわっている。これは $y=x$ という直線について折り返した位置になります。

$30^{\circ }$ の点は $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$、$60^{\circ }$ の点は $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ です。座標が入れかわっている。

表が 45 度までで足りる理由

数表を作るとき、$0^{\circ }$ から $90^{\circ }$ まで全部を並べる必要はありません。

$46^{\circ }$ から $89^{\circ }$ までの正弦は、$44^{\circ }$ から $1^{\circ }$ までの余弦と同じ値です。だから半分載せれば足りる。

$0^{\circ }$ から $45^{\circ }$ までの行に、$45^{\circ }$ から $90^{\circ }$ までの情報がすべて入っています。

表の左端に $0^{\circ }$ から $45^{\circ }$、右端に $90^{\circ }$ から $45^{\circ }$ を刻んでおけば、同じ行を左右から読み分けられる。

例：三角比を余角で言いかえる

$\sin 82^{\circ }$ を余角に直します。$90^{\circ }-82^{\circ }=8^{\circ }$ なので $\cos 8^{\circ }$ に等しい。

$\cos 77^{\circ }$ なら $\sin 13^{\circ }$ になります。$\tan 71^{\circ }$ は $\frac{1}{\tan 19^{\circ }}$。

角が $45^{\circ }$ を超えていたら余角へ移す。この習慣を持っておくと、表も暗算も軽くなります。

2 乗して足すと 1 に戻る

余角の関係を、平方の和に当てはめます。$\sin (90^{\circ }-\theta )=\cos \theta$ を代入する。

$${\sin }^2\theta +{\sin }^2(90^{\circ }-\theta )={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$

正弦だけを 2 つ並べた式なのに、値が $1$ に固定される。

例：25 度と 65 度で確かめる

$\sin 25^{\circ }=0.4226$、$\sin 65^{\circ }=0.9063$。

$$0.4226^2+0.9063^2=0.1786+0.8214=1.0000$$

${\sin }^{2}10^{\circ }+{\sin }^{2}80^{\circ }$ でも、${\sin }^{2}44^{\circ }+{\sin }^{2}46^{\circ }$ でも同じ $1$ になる。足して $90^{\circ }$ でありさえすればよい。

余角の公式は、新しい関係を足しているわけではありません。1 つの直角三角形をどちらの角から読むか、それだけの違いを式にしたものです。

参考