三角定規の 2 枚から出る三角比（30 度、45 度、60 度の値）

$30^{\circ }$、$45^{\circ }$、$60^{\circ }$ の三角比だけは、表も電卓も要らずに書けます。値が根号だけで表せるため。

もとになる図は 2 つしかない。正方形を対角線で切った形と、正三角形を高さで切った形です。

学校で使う三角定規の 2 枚が、そのままこの 2 つの形になる。

正方形を対角線で切る

1 辺 $1$ の正方形をとります。対角線を 1 本引くと、直角二等辺三角形が 2 つできる。

もとの角 $90^{\circ }$ が半分に分かれるので、残る 2 つの角はどちらも $45^{\circ }$ です^[1]。

2 辺が $1$ ずつなので、斜辺は三平方の定理から $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ になる。

例：45 度の 3 つの値

対辺も隣辺も $1$、斜辺が $\sqrt{2}$ です。定義に入れるだけで値が出る。

$$\sin 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\tan 45^{\circ }=\frac{1}{1}=1$$

正弦と余弦が同じ値になりました。二等辺なので、対辺と隣辺を入れかえても図が変わらないため。

正接がちょうど $1$ になるのも同じ理由。$\tan 45^{\circ }=1$ は暗算の目印として使えます。

正三角形を高さで切る

1 辺 $2$ の正三角形をとります。頂点から底辺へ垂線を下ろすと、底辺がちょうど半分に分かれる。

正三角形の内角は $60^{\circ }$ です。頂角が二等分されるので、できる直角三角形の角は $30^{\circ }$、$60^{\circ }$、$90^{\circ }$ に決まる^[2]。

底辺の半分が $1$、斜辺が $2$。高さは三平方の定理から出ます。

$$h=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$$

辺の比が $1:\sqrt{3}:2$ の直角三角形になりました。

例：30 度の値

$30^{\circ }$ から見ると、対辺が $1$、隣辺が $\sqrt{3}$、斜辺が $2$。

$$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ は、正三角形の底辺が半分に切れることをそのまま言い直した式です^[3]。

例：60 度の値

同じ三角形を $60^{\circ }$ の側から読みます。対辺と隣辺が入れかわる。

$$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2},\tan 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$$

$\sin 30^{\circ }$ と $\cos 60^{\circ }$ が同じ値、$\cos 30^{\circ }$ と $\sin 60^{\circ }$ が同じ値になりました。

正接どうしは $\tan 30^{\circ }\times \tan 60^{\circ }=1$ で、逆数の関係になる。

辺の比を 2 つ覚えれば足りる

値を 9 個そのまま覚えるより、辺の比を 2 つ持っておくほうが軽い。

$30^{\circ }$ と $60^{\circ }$ は $1:\sqrt{3}:2$、$45^{\circ }$ は $1:1:\sqrt{2}$。この 2 行だけで 9 個の値が作れる。

正接は正弦を余弦で割れば出ます。$\tan 30^{\circ }=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ という計算になる。

例：斜辺が 6 の 30 度 60 度の直角三角形

比が $1:\sqrt{3}:2$ で、斜辺が $6$ とします。斜辺は比の $2$ にあたるので、倍率は $3$。

$$1\times 3=3,\sqrt{3}\times 3=3\sqrt{3}$$

$30^{\circ }$ の対辺が $3$、$60^{\circ }$ の対辺が $3\sqrt{3}\fallingdotseq 5.196$ になります。

比を先に決め、あとから倍率を掛ける。この順で計算すると根号の扱いが軽くなります。

例：直角二等辺三角形で斜辺から脚を出す

斜辺が $10$ の直角二等辺三角形をとる。比は $1:1:\sqrt{2}$ です。

$$\text{脚}=10\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\fallingdotseq 7.071$$

$\sqrt{2}\fallingdotseq 1.414$ を使うと $7.07$ 前後。$7.071^2\times 2=100$ に戻るので、計算は合っている。

分母に根号を残さない

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ のままでも誤りではありません。ただし答案では、分母を有理化した形が使われる。

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

分子と分母に同じ数を掛けているので、値は動かない。$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ も同じ手順です。

正弦の値には並びがある

$0^{\circ }$ から $90^{\circ }$ までの 5 つを順に並べると、分子の中身が $0$、$1$、$2$、$3$、$4$ と 1 ずつ増える。

$\sqrt{0}=0$、$\sqrt{1}=1$、$\sqrt{4}=2$ なので、両端は $0$ と $1$ になります。

余弦は同じ並びを右から左へ読むだけ。$\cos 0^{\circ }=1$ から始まり、$\cos 90^{\circ }=0$ で終わります。

例：正三角形の高さと面積

1 辺 $a$ の正三角形の高さを、三角比で書き直します。頂角を二等分すると $60^{\circ }$ の直角三角形が現れる。

$$h=a\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}a$$

面積は底辺と高さから出る。

$$S=\frac{1}{2}\times a\times \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$$

$a=4$ なら $h=2\sqrt{3}\fallingdotseq 3.46$、$S=4\sqrt{3}\fallingdotseq 6.93$ になります。

例：正方形の対角線と正六角形

1 辺 $a$ の正方形の対角線は $a\sqrt{2}$ です。$45^{\circ }$ の三角比から直接出てくる長さ。

正六角形は正三角形 6 個に分けられます。1 辺 $a$ なら面積は $6\times \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$。

$a=2$ の正六角形なら $6\sqrt{3}\fallingdotseq 10.39$。三角比を使うと、正多角形の計量が 1 本の式にまとまります。

刻みを細かくすると根号が増える

$45^{\circ }$ と $30^{\circ }$ の中間にあたる $15^{\circ }$ にも、根号で書ける値がある。

$$\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{4},\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$$

数表にはこうした角の値も載っています^[4]。ただし根号が二重に重なるので、図から直接読む形にはならない。

$30^{\circ }$、$45^{\circ }$、$60^{\circ }$ が特別なのは、値が簡単だからではありません。正三角形と正方形という、身近な図形をただ半分にすれば出てくるため。

出典