sin から cos を出すと答えが 2 つ出る理由｜高校数学の三角比

$sin θ = \frac{3}{5}$ と言われても、 $cos θ$ は 1 つに決まりません。 $\frac{4}{5}$ と $- \frac{4}{5}$ の 2 つが残ります。

角の範囲を $0^{\circ}$ から $18 0^{\circ}$ に広げたとたん、この分かれ道が現れる。鋭角だけを相手にしていたころは、根号を正でとれば済んでいました。

逆に $cos θ$ から $sin θ$ を出すときは、いつも 1 つに決まります。同じ関係式なのに、向きによって答えの個数が違う。

平方の関係から出す

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を $cos^{2} θ$ について解く^[1]。

$cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$

$2$ 乗が分かった状態です。ここから $cos θ$ を出すには平方根をとる。

$cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ$

正と負の 2 つが出ます。どちらを採るかは、 $sin θ$ の値だけでは決まらない。

図の 2 点は高さが同じで、横の位置だけが逆です。 $cos θ$ の符号が分かれる。

例：sin が 3/5 のとき

$sin^{2} θ = \frac{9}{25}$ なので、 $cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ になる。

$cos θ = \pm \frac{4}{5}$

$tan θ$ は $\frac{sin θ}{cos θ}$ なので $\pm \frac{3}{4}$ 。角は $36. 9^{\circ}$ か $143. 1^{\circ}$ のどちらかです。

条件が何も付いていないなら、 $2$ 組とも答えになる。片方だけでは足りない。

条件が付けば 1 つに決まる

問題文には、たいてい絞り込みの条件が入っています。よく出る形は 2 つ。

角そのものを指定する

「 $θ$ は鈍角」「 $9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$ 」と書かれている

別の三角比の符号を指定する

「 $cos θ < 0$ 」「 $tan θ < 0$ 」のように書かれている

どちらの形でも、決まるのは同じことです。 $θ$ が $9 0^{\circ}$ の左右どちらにいるか。

正弦の符号は、この範囲ではずっと正です。だから $sin θ > 0$ という条件を足しても、何も絞れない。

例：θ が鈍角という条件

$sin θ = \frac{3}{5}$ で $θ$ が鈍角とします。鈍角では余弦が負。

$cos θ = - \frac{4}{5}, tan θ = - \frac{3}{4}$

答えは 1 組になりました。角は $143. 1^{\circ}$ 。

例：cos が負という条件

条件が「 $cos θ < 0$ 」と書かれていても、結論は変わりません。余弦が負なら $θ$ は鈍角だから。

$sin θ = \frac{1}{2}$ 、 $cos θ < 0$ なら $cos θ = - \frac{3}{2}$ 、 $θ = 15 0^{\circ}$ になる。

例：tan が負という条件

「 $tan θ < 0$ 」も同じ働きをします。 $tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$ で分子が正なので、分母が負だと分かる。

$sin θ = \frac{12}{13}$ 、 $tan θ < 0$ とすると $cos θ = - \frac{5}{13}$ 、 $tan θ = - \frac{12}{5}$ 。

条件の見た目は違っても、伝えている情報は余弦の符号 1 つだけです。

角の範囲でも、余弦の符号でも、正接の符号でも、決まる中身は同じ。

cos から sin を出すときは 1 つに決まる

向きを逆にすると、話が変わります。 $cos θ$ が与えられた場合を考える。

$sin θ = \pm 1 - cos^{2} θ$

形の上では $\pm$ が付きます。ところが $0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ では $sin θ ≧ 0$ なので、負の側は消える^[2]。

だから $sin θ = 1 - cos^{2} θ$ と書けます。根号の前の符号を考える必要はない。

例：cos が -3/5 のとき

$cos^{2} θ = \frac{9}{25}$ なので $sin^{2} θ = \frac{16}{25}$ 。

$sin θ$ は正しかとらないので $\frac{4}{5}$ に決まる。 $tan θ = \frac{4/5}{- 3/5} = - \frac{4}{3}$ になります。

角も 1 つで、 $126. 9^{\circ}$ 。余弦が与えられたときは、場合分けが要りません。

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ で $sin θ = \frac{4}{5}$ のとき、 $cos θ$ の値はどれですか。

$\frac{3}{5}$ だけ
$- \frac{3}{5}$ だけ
$\frac{3}{5}$ と $- \frac{3}{5}$ の 2 つ

__RESULT__

条件が正弦の値だけなので、鋭角と鈍角の両方が残ります。角は $53. 1^{\circ}$ と $126. 9^{\circ}$ で、どちらも $sin θ = 0.8$ を満たします。

端の値では答えが 1 つになる

$sin θ = 1$ のときは、 $cos^{2} θ = 0$ なので $cos θ = 0$ です。 $\pm$ を考えても $0$ しかない。

このとき $θ = 9 0^{\circ}$ で、 $tan θ$ は値を持ちません^[3]。分母が $0$ になるため。

$sin θ = 0$ の場合は $cos θ = \pm 1$ で、角は $0^{\circ}$ と $18 0^{\circ}$ 。こちらは 2 つ残る。

sin の値	cos の答え	角
1	0 だけ	90 度
0.6	0.8 と -0.8	36.9 度と 143.1 度
0	1 と -1	0 度と 180 度

数表の式は鋭角向けに書かれている

関数どうしの関係を並べた数表では、 $cos θ = 1 - sin^{2} θ$ と正の根だけが書かれています^[2]。

ただしそこには但し書きが付く。値が負でない範囲での話だ、という条件です^[2]。

鈍角を扱うときは、この但し書きが効いてくる。表の式をそのまま写すと符号を落とします。

$0^{\circ} ≦ θ ≦ 18 0^{\circ}$ で $cos θ = - \frac{1}{2}$ のとき、 $sin θ$ の値はどれですか。

$\frac{3}{2}$ だけ
$- \frac{3}{2}$ だけ
$\pm \frac{3}{2}$ の 2 つ

__RESULT__

この範囲では正弦が負になりません。だから根号の正の側だけが残り、 $θ = 12 0^{\circ}$ の 1 つに決まります。

正弦から出すときは 2 つ、余弦から出すときは 1 つ。 $0^{\circ}$ から $18 0^{\circ}$ という範囲の形が、そのまま答えの個数に出ています^[4]。

参考

Steven Butler. Notes from Trigonometry. Section 5.4, The Pythagorean identities.

Table 4.16.3, Elementary Properties. NIST Digital Library of Mathematical Functions.

*Trigonometric functions*. Encyclopedia of Mathematics, European Mathematical Society.

*Further trigonometry*. The Improving Mathematics Education in Schools (TIMES) Project, AMSI and ICE-EM.

sinθ = 3/5 だけでは cosθ が決まりません。4/5 と -4/5 の 2 つが残り、角も 36.9 度と 143.1 度の 2 つになる。高さを決めても、単位円との交点が左右に 2 つあるからです。「θ は鈍角」「cosθ < 0」「tanθ < 0」のどれが書かれていても、伝えている情報は cos の符号ひとつで、そこで 1 組に絞れます。逆に cosθ から sinθ を出すときは、この範囲で sin が負にならないので必ず 1 つ。数表の関係式が正の根だけを載せているのは、値が負でない範囲を前提にしているためです。