sin から cos を出すと答えが 2 つ出る理由｜高校数学の三角比

$\sin \theta =\frac{3}{5}$ と言われても、$\cos \theta$ は 1 つに決まりません。$\frac{4}{5}$ と $-\frac{4}{5}$ の 2 つが残ります。

角の範囲を $0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ に広げたとたん、この分かれ道が現れる。鋭角だけを相手にしていたころは、根号を正でとれば済んでいました。

逆に $\cos \theta$ から $\sin \theta$ を出すときは、いつも 1 つに決まります。同じ関係式なのに、向きによって答えの個数が違う。

平方の関係から出す

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を ${\cos }^2\theta$ について解く^[1]。

$${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$$

$2$ 乗が分かった状態です。ここから $\cos \theta$ を出すには平方根をとる。

$$\cos \theta =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }$$

正と負の 2 つが出ます。どちらを採るかは、$\sin \theta$ の値だけでは決まらない。

図の 2 点は高さが同じで、横の位置だけが逆です。$\cos \theta$ の符号が分かれる。

例：sin が 3/5 のとき

${\sin }^2\theta =\frac{9}{25}$ なので、${\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ になる。

$$\cos \theta =\pm \frac{4}{5}$$

$\tan \theta$ は $\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ なので $\pm \frac{3}{4}$。角は $36.9^{\circ }$ か $143.1^{\circ }$ のどちらかです。

条件が何も付いていないなら、$2$ 組とも答えになる。片方だけでは足りない。

条件が付けば 1 つに決まる

問題文には、たいてい絞り込みの条件が入っています。よく出る形は 2 つ。

どちらの形でも、決まるのは同じことです。$\theta$ が $90^{\circ }$ の左右どちらにいるか。

正弦の符号は、この範囲ではずっと正です。だから $\sin \theta >0$ という条件を足しても、何も絞れない。

例：θ が鈍角という条件

$\sin \theta =\frac{3}{5}$ で $\theta$ が鈍角とします。鈍角では余弦が負。

$$\cos \theta =-\frac{4}{5},\tan \theta =-\frac{3}{4}$$

答えは 1 組になりました。角は $143.1^{\circ }$。

例：cos が負という条件

条件が「$\cos \theta <0$」と書かれていても、結論は変わりません。余弦が負なら $\theta$ は鈍角だから。

$\sin \theta =\frac{1}{2}$、$\cos \theta <0$ なら $\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\theta =150^{\circ }$ になる。

例：tan が負という条件

「$\tan \theta <0$」も同じ働きをします。$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ で分子が正なので、分母が負だと分かる。

$\sin \theta =\frac{12}{13}$、$\tan \theta <0$ とすると $\cos \theta =-\frac{5}{13}$、$\tan \theta =-\frac{12}{5}$。

cos から sin を出すときは 1 つに決まる

向きを逆にすると、話が変わります。$\cos \theta$ が与えられた場合を考える。

$$\sin \theta =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$$

形の上では $\pm$ が付きます。ところが $0^{\circ }\leqq \theta \leqq 180^{\circ }$ では $\sin \theta \geqq 0$ なので、負の側は消える^[2]。

だから $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ と書けます。根号の前の符号を考える必要はない。

例：cos が -3/5 のとき

${\cos }^2\theta =\frac{9}{25}$ なので ${\sin }^2\theta =\frac{16}{25}$。

$\sin \theta$ は正しかとらないので $\frac{4}{5}$ に決まる。$\tan \theta =\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}$ になります。

角も 1 つで、$126.9^{\circ }$。余弦が与えられたときは、場合分けが要りません。

端の値では答えが 1 つになる

$\sin \theta =1$ のときは、${\cos }^2\theta =0$ なので $\cos \theta =0$ です。$\pm$ を考えても $0$ しかない。

このとき $\theta =90^{\circ }$ で、$\tan \theta$ は値を持ちません^[3]。分母が $0$ になるため。

$\sin \theta =0$ の場合は $\cos \theta =\pm 1$ で、角は $0^{\circ }$ と $180^{\circ }$。こちらは 2 つ残る。

数表の式は鋭角向けに書かれている

関数どうしの関係を並べた数表では、$\cos \theta =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }$ と正の根だけが書かれています^[2]。

ただしそこには但し書きが付く。値が負でない範囲での話だ、という条件です^[2]。

鈍角を扱うときは、この但し書きが効いてくる。表の式をそのまま写すと符号を落とします。

正弦から出すときは 2 つ、余弦から出すときは 1 つ。$0^{\circ }$ から $180^{\circ }$ という範囲の形が、そのまま答えの個数に出ています^[4]。

参考