部分和が書ければ和は出る？等比でない無限級数の収束と発散

$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots$ を途中まで足すと、 $10$ 項で $0.9091$ 、 $100$ 項で $0.9901$ 、 $1000$ 項で $0.9990$ である。

公比のない級数だが、和は $1$ に決まる。部分和が $1 - \frac{1}{k + 1}$ という閉じた形で書けるからである^[1]。

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1$

等比級数には $\frac{a}{1 - r}$ という公式があった。そうでない級数は、部分和を自分で作るところから始める。

部分和が書ければ極限がとれる

無限級数 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ の第 $k$ 部分和は $S_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ である^[1]。

${S_{k}}$ が収束すれば級数は収束し、その極限を級数の和と呼ぶ。発散すれば和は存在しない。

級数の話は、部分和という数列の話に置きかわる。難しいのは $S_{k}$ を閉じた形で書くところで、そこさえ越えれば後は数列の極限である。

例：部分分数に分けてたたむ

$\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ と分けると、隣どうしが打ち消し合う^[1]。

$S_{k} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{k + 1}$

中間の項が全部消え、最初と最後だけが残る。望遠鏡をたたむ形なので、望遠鏡和と呼ばれる。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… '+\\frac{1}{' + index + '}' …)

例：隣どうしでない打ち消し

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 2 )}$ では、分けたときの差が 2 つ飛びになる。

$\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$

$\frac{1}{n}$ 側と $\frac{1}{n + 2}$ 側が 2 つずれるので、頭に 2 つ、尻尾に 2 つ残る。

$S_{k} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}) \to \frac{3}{4}$

ずれの個数だけ残る項が増える。分けた形を書き、実際に何項か並べて確かめておく。

例：たためても発散する

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n + 1 + n}$ を見る。分母を有理化すると差の形になる。

$\frac{1}{n + 1 + n} = n + 1 - n$

部分和は $S_{k} = k + 1 - 1$ で、 $k \to \infty$ とすると $\infty$ に発散する。

たためることと収束することは別である。残った項が $0$ に向かうかどうかで決まる。

級数どうしの足し算

$\sum a_{n}$ と $\sum b_{n}$ がどちらも収束するなら、和と差も収束して次が成り立つ。

$\sum (a_{n} \pm b_{n}) = \sum a_{n} \pm \sum b_{n}, \sum c a_{n} = c \sum a_{n}$

部分和どうしの計算なので、数列の極限の四則がそのまま移る。

発散する級数を含む場合は使えない。 $\sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n})$ は $0$ だが、 $\sum \frac{1}{n}$ 単独は発散するので、2 つに分けて書けない。

一般項が $0$ へ向かわなければ発散

級数が収束するなら、一般項は必ず $0$ に向かう^[3]。対偶をとると判定法になる^[2]。

$n \to \infty lim a_{n} \neq = 0 または存在しない ⟹ \sum a_{n} は発散$

$\sum \frac{n}{2 n + 1}$ は一般項が $\frac{1}{2}$ に向かうので、足す前に発散と分かる。

$\sum (- 1)^{n}$ も一般項の極限が存在しないので発散する。手軽で、まず最初に当てる判定になる。

この判定は、発散を示すときにだけ使える^[2]。

一般項が $0$ に向かっても、そこから収束は言えない。判定は「分からない」で終わる。

一般項が $0$ でも収束しない

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ を調和級数という。一般項は $0$ に向かうのに、和は発散する^[1]^[3]。

項を $2$ 個、 $4$ 個、 $8$ 個と束にすると理由が見える。各束の中でいちばん小さい項に置きかえても、束の合計は $\frac{1}{2}$ を下回らない。

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}, \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8} > 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$

束を $m$ 個集めれば部分和は $\frac{m}{2}$ を超える。壁をいくらでも越えられる。

$p$ 乗の分母では境目がある

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{p}}$ は $p > 1$ で収束し、 $p \leq 1$ で発散する^[2]。

境目はちょうど $p = 1$ 、つまり調和級数である。 $p = 1$ は発散する側に入る。

$p = 2$ なら収束し、 $p = 0.5$ なら発散する。指数がわずかに $1$ を超えるだけで結果が変わる。

例： $\frac{1}{n ^{2}}$ が収束することを手で示す

$n \geq 2$ では $n^{2} > n (n - 1)$ なので、次の不等式が成り立つ。

$\frac{1}{n ^{2}} < \frac{1}{n ( n - 1 )} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

右辺の和は望遠鏡和になり、 $1 - \frac{1}{k}$ である。したがって部分和は $2$ を超えない。

$S_{k} < 1 + (1 - \frac{1}{k}) < 2$

増え続けて上に有界なので収束する。ここまでは高校の道具だけで書ける。

値そのものは難しい。オイラーが 1735 年に $\frac{π ^{2}}{6}$ だと示した^[4]。 $1.644934$ である。

部分和は $10$ 項で $1.5498$ 、 $100$ 項で $1.6350$ 、 $1000$ 項で $1.6439$ 。近づき方はかなり遅い。

積分と比べて判定する

正で減っていく項なら、対応する関数の広義積分と運命を共にする^[2]。

$a_{n} = f (n)$ となる連続で減少する $f$ をとると、 $\sum a_{n}$ と $\int_{N}^{\infty} f (x) d x$ は同時に収束し、同時に発散する^[2]。

短冊と曲線の面積を比べる形なので、区分求積と同じ図で理解できる。

短冊は曲線の上に出るので、 $n = 1 \sum k \frac{1}{n} > \int_{1}^{k + 1} \frac{d x}{x} = lo g (k + 1)$ が成り立つ。

右辺が $\infty$ に発散するので、調和級数も発散する。束を作る議論と同じ結論が、面積の比較から出てくる。

$\frac{1}{n ^{2}}$ なら $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2}} = 1$ で有限なので、こちらは収束する側になる。

符号が交互に変わる級数

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ は収束する。値は $lo g 2 = 0.6931$ である。

部分和は $1$ 、 $0.5$ 、 $0.8333$ 、 $0.5833$ 、 $0.7833$ 、 $0.6167$ と、上下をまたぎながら幅を狭めていく。

絶対値をとった $\sum \frac{1}{n}$ は発散する。符号が交互に入ることで、打ち消し合いが起きている。

符号がそろっている

項が積み上がる一方。 $\sum \frac{1}{n}$ は発散する

符号が交互に変わる

行き過ぎと戻りを繰り返す。 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ は $lo g 2$ に収束する

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 3 )}$ の和はいくつか。

$\frac{11}{18}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$

__RESULT__

$\frac{1}{3} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 3})$ と分けると、頭に 3 項残る。 $\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{11}{18}$ である。 $\frac{1}{3}$ は係数だけを答えた値、 $\frac{1}{2}$ はずれを 1 つと見た誤りになる。

判定法のほうも確かめる。

$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}$ はどうなるか。

一般項が $0$ に向かうので収束する
$p$ が $1$ 以下なので発散する
一般項の極限が存在しないので発散する

__RESULT__

$\frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{1/2}}$ で $p = \frac{1}{2} \leq 1$ なので発散する。一般項は $0$ に向かうが、そこから収束は言えない。極限は存在するので、3 番目の理由も誤りである。

等比級数以外では、部分和を閉じた形にできるかどうかが最初の分かれ道になる。書けなければ、収束するかしないかだけを判定法で決める。

出典

*Infinite Series*. Calculus Volume 2, OpenStax.

*The Divergence and Integral Tests*. Calculus Volume 2, OpenStax.

Claus Michael Ringel. *Folgen und Reihen*. Leitfaden Funktionen, Universität Bielefeld.

Leonhard Euler. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots$ は $1000$ 項で $0.9990$、和は $1$ です。公比がなくても、部分和が $1-\frac{1}{k+1}$ と閉じた形に書ければ極限がとれる。部分分数に分けて打ち消し合わせる手を、ずれが 2 つ 3 つの場合まで並べました。一般項が $0$ へ向かわなければ発散、向かっても収束とは限りません。調和級数を束で押さえる議論、$\sum\frac{1}{n^{p}}$ の境目、$\sum\frac{1}{n^{2}}$ が $2$ 未満で収束することの初等的な証明、積分との比較、交代級数まで。