「単調で有界なら収束する」単調収束定理と実数の連続性

$(1 + \frac{1}{n})^{n}$ は $2$ 、 $2.25$ 、 $2.37$ 、 $2.44$ と増え続ける。同時に、どの項も $3$ を超えない。

この 2 つを言えた時点で、極限が存在すると決まる。値が何であるかは、まだ分からなくてよい^[1]。

存在を先に確保し、値をあとから追いかける。単調収束定理はその順序を許す。

定理

上に有界で単調増加な数列は収束する^[1]^[2]。下に有界で単調減少なら、やはり収束する。

言いかえると、単調な実数列は有界であるとき、そのときに限って収束する^[3]。

極限は上限、つまり項の集合の最小の上界である^[1]。

上界と上限

数列のすべての項が $K$ 以下なら、 $K$ を上界という。上界は 1 つ決まれば、それより大きい数もすべて上界になる。

上界の中でいちばん小さいものを上限と呼ぶ。 $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ では $3$ も $2.8$ も上界だが、上限は $e = 2.71828 \dots$ である。

証明の筋

$a = sup {a_{n}}$ と置く。幅 $ε > 0$ を決めると、 $a - ε$ は上界ではない^[1]。

上界の中で最小のものが $a$ だからである。よって $a_{n_{0}} > a - ε$ となる番号 $n_{0}$ が存在する。

単調増加なので $n \geq n_{0}$ では $a_{n} \geq a_{n_{0}} > a - ε$ 。上界だから $a_{n} \leq a$ でもある。

$a - ε < a_{n} \leq a (n \geq n_{0})$

これは $∣ a_{n} - a ∣ < ε$ を意味する。定義どおり $a_{n} \to a$ が示せた^[1]。

どこで実数が要るのか

証明で使ったのは、上限が存在するという事実だけである。これは実数の性質として認めるところから始まる。

空でなく上に有界な実数の集合は、必ず上限を持つ^[4]。この主張が実数の連続性と呼ばれるもので、公理として置かれる^[4]。

デデキントの切断で言えば、どの切断も必ず 1 つの数で実現される^[4]。数直線に穴がない、という言い方になる。

単調収束定理は、実数に穴がないことを数列の言葉に言いかえたものである。

証明の中身は上限の存在だけ。そこを認めれば、あとは定義の言いかえで終わる。

有理数の中では成り立たない

有理数だけの世界では、この定理は破れる^[4]。単調で有界なのに、行き先が世界の外にある数列を作れるからである。

$a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{2}{a _{n}})$ を考える。各項は有理数で、 $2$ 、 $1.5$ 、 $1.41666 \dots$ 、 $1.41421568 \dots$ と減り続ける。

下に有界でもある。どの項も $2$ より大きい。それでも極限 $2$ は有理数ではない。

小数を打ち切った $1$ 、 $1.4$ 、 $1.41$ 、 $1.414$ という数列でも同じことが起きる。増え続けて $1.5$ を超えないのに、行き先が有理数の外にある。

有理数の世界には、上に有界な集合で上限を持たないものがある。 ${x \in Q : x^{2} < 2}$ がその例である。

実数を作るのは、この穴を埋める作業だった。単調収束定理が使えるのは、埋めたあとの世界でだけである。

例：級数の収束に使う

$s_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !}$ は増え続ける。 $k! \geq 2^{k - 1}$ から $s_{n} < 3$ が言える^[1]。

上に有界で単調増加なので収束する。極限は $e$ だが、その値を知らなくても収束は決まっている。

$\sum \frac{1}{n ^{2}}$ も同じ形である。 $\frac{1}{n ^{2}} < \frac{1}{n ( n - 1 )}$ から部分和が $2$ 未満と分かり、収束する。

例：漸化式の収束に使う

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ では、帰納法で $a_{n} < 3$ と $a_{n} < a_{n + 1}$ を示す。

上に有界で単調増加なので収束が確定する。そこではじめて $α = 2 α + 3$ を解いてよい。

この順序を逆にすると、収束しない数列に極限値を与えてしまう。存在を先に押さえるのが型である。

方程式を解くだけ

$α = f (α)$ の解は候補にすぎない。収束するかは分からない

単調と有界を示す

収束が確定してから候補を当てる。値が 1 つに決まる

単調でないと言えない

有界なだけでは収束しない。 ${(- 1)^{n}}$ は $- 1$ と $1$ に収まっているが、行き先を持たない。

単調性が効いているのは、後戻りを禁じている点である。天井に近づいたら、そこから離れられない。

有界な数列については、収束する部分列が必ずとれるという定理がある。全体の収束までは言えないが、一部を抜き出せば収束させられる。

区間を縮めていく形

同じ内容が区間の言葉でも書ける。閉区間が入れ子になり、幅が $0$ に向かうなら、共通部分はちょうど 1 点になる。

二分法や、 $π$ を多角形で挟む議論はこの形をしている。左端は増える有界数列、右端は減る有界数列である。

上に有界で単調増加なら収束する。極限は上限になる。

下に有界で単調減少でも同じ。極限は下限になる。

有界なだけでは収束しない。単調性が要る。

有理数の中では成り立たない。実数の連続性が前提になる。

4 つのうち上の 2 つが定理、下の 2 つが前提の確認になる。

数列 ${a_{n}}$ について、収束を保証するのはどれか。

有界である
単調増加で上に有界である
単調増加である

__RESULT__

有界なだけでは $(- 1)^{n}$ が反例になり、単調なだけでは $n$ が反例になる。両方そろってはじめて収束が決まる。

前提のほうも確かめる。

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{a _{n} + 2}{2}$ の各項は有理数である。この数列について正しいのはどれか。

有理数の範囲で単調増加かつ有界で、極限も有理数になる
有界だが極限は無理数になる
発散する

__RESULT__

$α = \frac{α + 2}{2}$ から $α = 2$ である。 $1$ 、 $1.5$ 、 $1.75$ と増えて $2$ を超えない。極限も有理数なので、この例では有理数の中で完結する。有理数で破れるのは、行き先が無理数になる場合だけである。

単調で有界なら収束する。この一文は、実数直線に穴がないという主張と同じ内容を述べている。数列の言葉で書いてあるだけである。

出典

*Grenzwerte von Folgen und Funktionen*. Mathematik für Informatiker II, Freie Universität Berlin.

*Sequences*. Calculus Volume 2, OpenStax.

*Folgen und Grenzwerte*. Analysis-Skript, ETH Zürich.

Real number. Encyclopedia of Mathematics.

$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ は増え続け、どの項も $3$ を超えません。この 2 つを言えた時点で収束が決まる。値を知らないまま存在だけを先に確保できます。証明で使うのは上限の存在だけで、それは実数の連続性そのもの。空でなく上に有界な集合が上限を持つ、という公理です。有理数の中では破れます。$\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)$ は有理数のまま減り続けるのに、行き先の $\sqrt{2}$ が世界の外にある。区間縮小法との関係まで並べました。