隣の項との比を 1 と比べる比判定法と根判定法による級数の収束判定

$n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}}$ の項は $0.5$ 、 $0.5$ 、 $0.375$ 、 $0.25$ 、 $0.15625$ と減っていきます。隣どうしの比は $\frac{n + 1}{2 n}$ で、 $\frac{1}{2}$ に向かう。

比が $1$ より小さい値に落ち着くなら、その級数は収束します^[1]。実際この和は $2$ です。

部分和を閉じた形に書けなくても、項の減り方だけで収束するかどうかが判定できる。それが比判定法と根判定法です。

比判定法

$a_{n} \neq = 0$ の級数について、隣の項との比の極限を $ρ$ とします^[1]^[2]。

$ρ = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$

$0 \leq ρ < 1$ なら絶対収束し、 $ρ > 1$ または $ρ = \infty$ なら発散します^[1]。 $ρ = 1$ のときは何も言えません^[1]^[2]。

なぜ効くのか

$ρ < 1$ のとき、 $ρ$ と $1$ のあいだに数 $r$ をとります。 $r = \frac{ρ + 1}{2}$ とすればよい。

比が $ρ$ に向かうので、ある番号 $N$ から先では $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} < r$ になります。

そこから $∣ a_{N + k} ∣ < ∣ a_{N} ∣ r^{k}$ が出ます。項が公比 $r$ の等比数列より小さく押さえられました。

$k = 0 \sum \infty ∣ a_{N} ∣ r^{k} = \frac{∣ a _{N} ∣}{1 - r} < \infty$

判定法の中身は、等比級数と比べることです。 $r$ を $1$ より小さくとれる点が効いています。

例：階乗が入る形

$n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{n !}$ を判定します。比をとると階乗がきれいに約分されます^[1]。

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \cdot \frac{n !}{2 ^{n}} = \frac{2}{n + 1} \to 0$

$ρ = 0 < 1$ なので収束します^[1]。和は $e^{2} - 1$ です。

$\sum \frac{n !}{2 ^{n}}$ なら比は $\frac{n + 1}{2} \to \infty$ で発散。階乗が分母にあるか分子にあるかで結論が変わります。

例： $n$ 乗が入る形

$n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}}$ の比を計算します。

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{n !} = (\frac{n}{n + 1})^{n} \to \frac{1}{e}$

$\frac{1}{e} = 0.3679 < 1$ なので収束します。 $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e$ がここで効いています。

根判定法

項の $n$ 乗根の極限で判定する方法もあります^[1]^[4]。

$ρ = n \to \infty lim n ∣ a_{n} ∣$

結論は比判定法と同じです。 $ρ < 1$ で収束、 $ρ > 1$ で発散、 $ρ = 1$ では判定できません^[1]^[4]。

コーシーの根判定法とも呼ばれます^[4]。

例：全体が $n$ 乗になっている形

$n = 1 \sum \infty (\frac{n ^{2} + 3 n}{4 n ^{2} + 5})^{n}$ を判定します。 $n$ 乗根をとると指数が消えます^[1]。

$n ∣ a_{n} ∣ = \frac{n ^{2} + 3 n}{4 n ^{2} + 5} \to \frac{1}{4}$

$ρ = \frac{1}{4} < 1$ で収束します^[1]。比をとる道もありますが、こちらのほうが手数が少ない。

$\sum \frac{1}{( lo g n ) ^{n}}$ でも同じです。 $n ∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{lo g n} \to 0$ なので収束します。

比判定法が向く形

階乗や連続する積が入っている。 $n!$ 、 $(2 n)!$ 、 $n (n + 1)$ など

根判定法が向く形

全体が $n$ 乗になっている。 $(\frac{an + b}{c n + d})^{n}$ 、 $\frac{1}{( lo g n ) ^{n}}$ など

$ρ = 1$ では何も言えない

境目では判定が止まります。実際、 $ρ = 1$ の級数には収束するものも発散するものもあります^[2]。

$\sum \frac{1}{n}$ の比は $\frac{n}{n + 1} \to 1$ で発散します。 $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ の比は $(\frac{n}{n + 1})^{2} \to 1$ で収束します^[2]。

同じ $ρ = 1$ から、正反対の結論が出ている。この場合は別の判定法へ移ります。

比の値だけを見ていては、この差に気づけません。

$ρ = 1$ が出たら、その判定法では決着しません^[1]^[2]。

$p$ 級数の形と比べる、積分と比べる、交代級数として扱う。別の道具へ移る合図になる。

例： $x$ が入る級数

$n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !}$ を判定します。 $x$ を定数と見て比をとります。

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{∣ x ∣}{n + 1} \to 0$

どんな $x$ でも $ρ = 0$ なので、すべての実数で収束します。この和が $e^{x}$ です。

$\sum \frac{x ^{n}}{n}$ なら比は $\frac{n}{n + 1} ∣ x ∣ \to ∣ x ∣$ 。 $∣ x ∣ < 1$ で収束、 $∣ x ∣ > 1$ で発散します。

$∣ x ∣ = 1$ は判定できません。 $x = 1$ は調和級数で発散、 $x = - 1$ は交代級数で収束します。境目で挙動が分かれる。

判定の順番

まず一般項が

0

に向かうかを見る。向かわなければ発散で終わり。

階乗や積があれば比判定法を当てる。

全体が

n

乗なら根判定法を当てる。

ρ = 1

が出たら、

p

級数や積分との比較へ移る。

一般項が $0$ に向かうかどうかの確認は、いちばん軽くて速い^[3]。そこで落ちる級数を先に外しておきます。

$n = 1 \sum \infty \frac{3 ^{n}}{n ^{2}}$ はどうなりますか。

収束する
発散する
判定できない

__RESULT__

比は $3 (\frac{n}{n + 1})^{2} \to 3$ です。 $ρ = 3 > 1$ なので発散します。分母の $n^{2}$ では、分子の $3^{n}$ に追いつけません。

根判定法の側も確かめます。

$n = 1 \sum \infty (\frac{2 n + 1}{3 n + 4})^{n}$ はどうなりますか。

収束する
発散する
判定できない

__RESULT__

$n$ 乗根をとると $\frac{2 n + 1}{3 n + 4} \to \frac{2}{3}$ です。 $ρ = \frac{2}{3} < 1$ なので収束します。全体が $n$ 乗の形なので、根判定法がそのまま効きます。

比か根の行き先を $1$ と比べる。これだけで多くの級数が片づきます。境目の $ρ = 1$ に落ちたときだけ、別の道具を探します。

参考文献

*Ratio and Root Tests*. Calculus Volume 2, OpenStax.

D'Alembert criterion (convergence of series)). Encyclopedia of Mathematics.

Claus Michael Ringel. *Folgen und Reihen*. Leitfaden Funktionen, Universität Bielefeld.

Root Test. Wolfram MathWorld.

$\sum\frac{n}{2^{n}}$ の隣どうしの比は $\frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$。$1$ より小さいので収束します。部分和を閉じた形に書けなくても、項の減り方だけで判定できる。中身は等比級数との比較で、$\rho$ と $1$ のあいだに $r$ をとれば項が $Cr^{n}$ 以下に収まります。階乗が入る $\frac{2^{n}}{n!}$ や $\frac{n!}{n^{n}}$ は比、全体が $n$ 乗の形は根。$\rho = 1$ では $\sum\frac{1}{n}$ と $\sum\frac{1}{n^{2}}$ が正反対になり、判定が止まります。