n 分の 1 を見つけたら和を積分に直す区分求積法と数列の和の極限

$\frac{1}{n}\left\{{\left(\frac{1}{n}\right)}^2+{\left(\frac{2}{n}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{n}{n}\right)}^2\right\}$ を計算すると、$n=10$ で $0.385$、$n=100$ で $0.33835$、$n=1000$ で $0.333834$ です。

行き先は $\frac{1}{3}$。そしてこの値は ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ と同じものです。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$$

項の個数が $n$ とともに増える和は、そのままでは項ごとに極限をとれません。定積分に読みかえると計算できます。

短冊に切って足す

区間 $[0,1]$ を $n$ 等分します。1 つぶんの幅は $\frac{1}{n}$、$k$ 番目の右端は $\frac{k}{n}$ です^[1]。

その点での高さを $f\left(\frac{k}{n}\right)$ とすると、短冊 1 枚の面積は $\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$。

全部足したものがリーマン和です^[1][4]。$n$ を増やすと短冊が細くなり、曲線との隙間が消えていきます。

公式の形

$f$ が連続なら、リーマン和の極限は定積分に一致します^[2]。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$$

$k$ を $1$ から $n$ まで動かせば右端をとった和になり、$0$ から $n-1$ まで動かせば左端をとった和になります^[1]。

どちらも極限は同じ値になります。端が 1 つずれるぶんの差は $\frac{1}{n}$ の大きさしかないためです。

読みかえの手順

式を見たら、$\frac{1}{n}$ を $dx$ に、$\frac{k}{n}$ を $x$ に置きかえます。$k$ の動く範囲が積分区間になる。

$\frac{1}{n}$ が表に出ていない形も多い。まず $\frac{1}{n}$ を 1 つくくり出します。

例：1 次の場合

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}(1+2+\cdots +n)$ を求めます。$\frac{1}{n}$ をくくり出すと形が見えます。

$$\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\to {\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$$

この例は和の公式でも解けます。$\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{n+1}{2n}\to \frac{1}{2}$ で一致しました。

例：分母に $n+k$ が来る形

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)$ を求めます。和の公式は使えません。

分母を $n$ でくくると $\frac{1}{n\left(1+\frac{k}{n}\right)}$ になり、$\frac{1}{n}$ が出てきます。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\to {\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\log 2$$

$\log 2=0.6931$ です。$n=1000$ で和を計算すると $0.6929$ になります。

例：円が出てくる形

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$ を求めます。分母を $n^2$ でくくります。

$$\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}\to {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}$$

$\frac{\pi }{4}=0.7854$ です。有理数の和の極限に $\pi$ が現れます。

例：根号を含む形

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots +\sqrt{n}}{n\sqrt{n}}$ を求めます。分母を $n\cdot \sqrt{n}$ と見て分けます。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}\to {\int }_0^1\sqrt{x}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^1=\frac{2}{3}$$

$\sqrt{n}$ をどう配るかで見え方が変わります。$\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{k}{n}}$ と直すのが型。

例：三角関数を含む形

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi }{n}+\sin \frac{2\pi }{n}+\cdots +\sin \frac{n\pi }{n}\right)$ を求めます。

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}\to {\int }_0^1\sin \pi xdx={\left[-\frac{\cos \pi x}{\pi }\right]}_0^1=\frac{2}{\pi }$$

$\frac{2}{\pi }=0.6366$ です。$\pi$ が中に入っていても、$\frac{k}{n}$ の形さえ作れば同じ手順で進みます。

例：対数と階乗

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\log \left(1+\frac{k}{n}\right)$ を求めます。

$${\int }_0^1\log (1+x)dx=[(1+x)\log (1+x)-(1+x){]}_0^1=2\log 2-1$$

この結果は階乗の極限に化けます。左辺は $\frac{1}{n}\log \prod _{k=1}^n\frac{n+k}{n}$ と書けるためです。

積を書き直すと $\frac{(2n)!}{n!n^n}$ になり、次が得られます。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right)}^{\frac{1}{n}}=e^{2\log 2-1}=\frac{4}{e}$$

$\frac{4}{e}=1.4715$。和の極限を対数の外へ戻すと、積の極限が出てきます。

区間が $[0,1]$ でないとき

$k$ の動く範囲を変えると、積分区間も変わります。$k$ が $1$ から $2n$ まで動けば区間は $[0,2]$ です。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{2n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{2}f(x)dx$$

区間 $[a,b]$ を $n$ 等分するなら、幅は $\frac{b-a}{n}$、$k$ 番目の点は $a+\frac{(b-a)k}{n}$ です^[2]。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(a+\frac{(b-a)k}{n}\right)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

高校の問題では $[0,1]$ に直してから使うほうが速い。$\frac{k}{n}$ の形が出るように、先に式を整えます。

どんな関数でも使えるのか

連続な関数は必ず積分できます^[2]。高校で出てくる関数はこの条件を満たすので、手順どおりに進めて問題ありません。

ドイツ語の講義資料では、そうでない例としてディリクレ関数が挙げられています^[3]。有理数で $1$、無理数で $0$ をとる関数です。

どんなに細かく分けても、各区間には有理数も無理数もあります。代表点の選び方しだいで和が $1$ にも $0$ にもなり、値が定まらない^[3]。

定義そのものは等分を要求しません。分割の中でいちばん広い区間の幅を $0$ に近づける、という形で書きます^[3][4]。

どちらで書いても、連続な関数なら同じ値に行き着きます。

区間の読み方も確かめます。

項の個数が増える和は、短冊の面積の和だと思えば片づきます。$\frac{1}{n}$ を見つけることが、そのまま解き始めの合図になる。

参考文献