正九十六角形で円周率を挟む〜アルキメデスの方法と三角関数の極限

半径 $1$ の円に正六角形を内接させると、周の長さは $6$ である。半周でみれば $3$ 。

正十二角形にすると $3.10583$ 、正九十六角形なら $3.14103$ 。円の半周である $π = 3.14159$ に、下から寄っていく。

外側から囲む正多角形をとれば、上からの評価も出る。アルキメデスはこの 2 つで $π$ を挟んだ^[2]。

内側と外側から挟む

半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形を考える。中心から見た 1 辺の張る角は $\frac{2 π}{n}$ である。

二等辺三角形を半分に割ると、1 辺の長さは $2 sin \frac{π}{n}$ 。周の長さは $2 n sin \frac{π}{n}$ になる。

外接する正 $n$ 角形なら、1 辺は $2 tan \frac{π}{n}$ で、周は $2 n tan \frac{π}{n}$ である。

円周は $2 π$ なので、半分にすると次の挟み方になる。

$n sin \frac{π}{n} < π < n tan \frac{π}{n}$

$n$ を増やすほど両側が近づく。どこまで近づくかを極限で確かめる。

両端とも $π$ に向かう

$θ = \frac{π}{n}$ と置くと、 $n \to \infty$ は $θ \to + 0$ にあたる。

$n sin \frac{π}{n} = π \cdot \frac{sin θ}{θ} \to π \cdot 1 = π$

外側も同じで、 $n tan \frac{π}{n} = π \cdot \frac{tan θ}{θ} \to π$ である。

両端が同じ値に向かうので、はさみうちの原理から円の半周が $π$ だと決まる。三角関数の極限が、そのまま円周率の定義を支えている。

例：面積で挟んでも同じ

周ではなく面積で近づける道もある。内接する正 $n$ 角形は、頂角 $\frac{2 π}{n}$ の二等辺三角形が $n$ 個集まった形である。

三角形 1 個の面積は $\frac{1}{2} sin \frac{2 π}{n}$ なので、全体は $\frac{n}{2} sin \frac{2 π}{n}$ 。

$\frac{n}{2} sin \frac{2 π}{n} = π \cdot \frac{sin \frac{2 π}{n}}{\frac{2 π}{n}} \to π$

半径 $1$ の円の面積が $π$ であることが出た。周でも面積でも、同じ極限に落ちる。

アルキメデスが出した数値

アルキメデスは正六角形から始め、辺の数を倍にしていった。 $6$ 、 $12$ 、 $24$ 、 $48$ 、 $96$ の 5 段階である^[2]。

$n$	内側から	外側から
$6$	$3.00000$	$3.46410$
$12$	$3.10583$	$3.21539$
$48$	$3.13935$	$3.14609$
$96$	$3.14103$	$3.14272$

九十六角形で得られた評価が $\frac{223}{71} < π < \frac{22}{7}$ である^[1]^[3]。小数にすると $3.14085 < π < 3.14286$ 。

2 つの平均をとると $3.1418$ で、誤差はおよそ $0.0002$ にとどまる^[1]。

辺の数を倍にする手続き

辺を倍にするたびに三角関数の値を求め直す必要がある。半角の公式がその役目を果たす。

$sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2}, cos \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2}$

正六角形の $\frac{π}{6}$ から始めれば、平方根の計算だけで $\frac{π}{12}$ 、 $\frac{π}{24}$ と進める。

アルキメデスは三角関数を持たなかったので、幾何の作図と平方根の近似で同じことをやっている^[1]^[2]。

辺の数を倍にする漸化式は、半角の公式そのものである。

角が半分になるので $sin$ と $cos$ を求め直す。平方根が 1 回ずつ増えていく。

近づく速さ

$n$ を倍にすると、上下の幅はおよそ $\frac{1}{4}$ になる。誤差が $\frac{1}{n ^{2}}$ に比例するからである。

$sin$ の展開から $n sin \frac{π}{n} \approx π - \frac{π ^{3}}{6 n ^{2}}$ が出る。 $n = 96$ なら $\frac{π ^{3}}{6 \cdot 9 6 ^{2}} = 0.00056$ である。

実際の差 $π - 3.14103 = 0.00056$ と一致した。桁を 1 つ増やすには辺の数を約 3 倍にする必要がある。

窮尽法という名前

この考え方は窮尽法と呼ばれ、エウドクソスに始まるとされる^[4]。アルキメデスが多彩に使いこなした^[4]。

当時は極限の理論がなかったので、結論は背理法で述べられた^[4]。求める量より大きいと仮定しても小さいと仮定しても矛盾する、という形である。

現代の言葉に直すと $A = n \to \infty lim C_{n}$ と書ける^[4]。挟んで追いつめる手つきは、はさみうちの原理そのものになっている。

多角形の限界

多角形を使う方法は、17 世紀のファン・ケーレンが 35 桁を出したところで頭打ちになった^[1]。

理論の進歩ではなく、計算の根気だけが競われる状態だったと評されている^[1]。そのあと級数を使う方法に置きかわった。

$π$ 自体の性質も分かってきた。リンデマンが 1882 年に超越数であることを示し、定規とコンパスで円と同じ面積の正方形を作れないと決着した^[3]。

多角形で近づける

辺の数を倍にすると誤差が 4 分の 1 になる。桁を稼ぐには辺を大幅に増やす

級数で近づける

項を 1 つ足すごとに桁が増える形が作れる。多角形より速い

半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形の周の長さは何に近づくか。

$π$
$2 π$
$n$

__RESULT__

1 辺が $2 sin \frac{π}{n}$ で $n$ 本あるので、周は $2 n sin \frac{π}{n} = 2 π \cdot \frac{sin θ}{θ}$ の形になり $2 π$ である。 $π$ は半周の値、 $n$ は辺の本数を答えたものになる。

面積の側も確かめる。

$n \to \infty lim \frac{n}{2} sin \frac{2 π}{n}$ はいくつか。

$π$
$2 π$
$\frac{π}{2}$

__RESULT__

$\frac{n}{2} sin \frac{2 π}{n} = π \cdot \frac{sin \frac{2 π}{n}}{\frac{2 π}{n}} \to π$ である。これは半径 $1$ の円の面積にあたる。 $2 π$ は周の長さ、 $\frac{π}{2}$ は係数を半分にした誤りになる。

円周率を「円周と直径の比」と言うだけでは値が出ない。多角形で上下から挟み、三角関数の極限でその幅を $0$ に潰す。そこではじめて数として決まる。

参考文献

*Pi through the ages*. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Archimedes of Syracuse. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Pi. Wolfram MathWorld.

Exhaustion, method of. Encyclopedia of Mathematics.

半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形の半周は $n\sin\frac{\pi}{n}$、外接なら $n\tan\frac{\pi}{n}$。$n = 96$ で $3.14103$ と $3.14272$ になり、$\pi$ を上下から挟みます。$\theta = \frac{\pi}{n}$ と置けば、どちらも $\frac{\sin\theta}{\theta} \to 1$ から $\pi$ へ落ちる。アルキメデスが得た $\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}$ の由来、辺を倍にする半角の公式、誤差が $\frac{1}{n^{2}}$ で縮む理由、窮尽法という古い名前、リンデマンの超越性まで並べました。