分数を足すだけで π が出てくる！ライプニッツ級数とオイラー定数

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$ を足していくと、部分和は $1$ 、 $0.6667$ 、 $0.8667$ 、 $0.7238$ と上下に振れながら $0.7854$ に寄っていきます。

この値は $\frac{π}{4}$ です。分数だけを足しているのに、円周率が出てくる。

$\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$

$e$ もそうですが、極限でしか書けない定数がいくつもあります。ここでは $π$ と $γ$ を、極限の形から見ていきます。

ライプニッツ級数

上の式はグレゴリーとライプニッツが見つけたもので、グレゴリー級数とも呼ばれます^[2]。

交代級数なので、部分和は $\frac{π}{4}$ をまたぎながら幅を狭めていきます。奇数項で上、偶数項で下です。

交代級数は次の項で押さえられる

符号が交互で、項の絶対値が減っていく級数では、部分和と和の差が次の項より小さくなります。

$n$ 項まで足したときの誤差は $\frac{1}{2 n + 1}$ 以下です。 $10$ 項なら $\frac{1}{21} = 0.0476$ 以下。

項数	部分和	差
$10$	$0.760460$	$0.024938$
$100$	$0.782898$	$0.002500$
$1000$	$0.785148$	$0.000250$

桁を 1 つ増やすのに、項数を 10 倍にする必要があります。この式で $π$ を計算するのは現実的ではありません^[2]。

収束を速める変形はいくつもあります^[2]。マチンの公式 $\frac{π}{4} = 4 arctan \frac{1}{5} - arctan \frac{1}{239}$ がその代表です。

調和級数と対数の差

$H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ は発散します。 $lo g n$ も発散します。差をとるとどうなるか。

$n = 10$ では $2.928968 - 2.302585 = 0.626383$ 、 $n = 1000$ では $7.485471 - 6.907755 = 0.577716$ 。

差は一定の値に落ち着きます。これがオイラー・マスケローニ定数 $γ$ です^[1]。

$γ = n \to \infty lim (k = 1 \sum n \frac{1}{k} - lo g n) = 0.5772156649 \dots$

なぜ差が収まるのか

短冊と曲線の面積の差で説明できます。 $\frac{1}{k}$ を幅 $1$ の短冊、 $lo g n$ を $\frac{1}{x}$ の下の面積と見ます。

短冊は曲線からわずかにはみ出します。 $k$ 番目のはみ出しは $\frac{1}{k} - lo g \frac{k + 1}{k}$ で、 $\frac{1}{k ^{2}}$ の程度です。

$\sum \frac{1}{k ^{2}}$ が収束するので、はみ出しの合計も有限に収まる。それが $γ$ の正体になります。

記号と歴史

$γ$ を最初に定義したのはオイラーで、1735 年です^[1]^[3]。彼は文字 $C$ を使い、真剣に検討する価値がある数だと述べました^[1]。

いまの記号 $γ$ はマスケローニが 1790 年に採用したものです^[1]。

同じ 1735 年に、オイラーは $\sum \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ も示しています^[3]。そこから $ζ (4)$ や $ζ (6)$ の値へ進みました^[3]。

$γ$ は無理数かどうか分かっていない

$π$ と $e$ はどちらも無理数で、しかも超越数だと分かっています。 $γ$ については、無理数かどうかすら未解決です^[1]。

仮に $γ$ が分数 $\frac{a}{b}$ で書けるとしても、分母は $b > 1 0^{242080}$ でなければならないと分かっています^[1]。

π

と

e

無理数であり、超越数でもある。証明が済んでいる

γ

小数第 1 億位まで計算されているが、無理数かどうかが未解決

積の形で書ける定数

級数だけでなく、無限積で書かれる定数もあります。ウォリスの公式がその例です^[4]。

$\frac{π}{2} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7} \dots = n = 1 \prod \infty \frac{( 2 n ) ^{2}}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$

ウォリスが 1656 年の著作で発表しました^[4]。 $sin$ の無限積表示から導けます^[4]。

$10$ 項で $1.5339$ 、 $100$ 項で $1.5669$ 。 $\frac{π}{2} = 1.5708$ で、こちらも収束は速くありません。

無限積は、対数をとると無限級数に変わります。

$lo g \prod a_{n} = \sum lo g a_{n}$ なので、級数の収束の話に持ちこめる。

極限が定数を作る

有理数の演算だけを無限に続けた先に、有理数でない数が現れます。

e

は

(1 + \frac{1}{n})^{n}

の極限として決まる。

π

は多角形の周や交代級数の和として決まる。

γ

は調和級数と対数の差として決まる。

黄金比は

1 + \frac{1}{x}

の不動点として決まる。

有限回の計算では書けないので、極限という手続きそのものが定義になっている。数を極限で定義した最初の例が $e$ でした。

収束の速さを比べる

同じ $π$ を出す式でも、実用の差は大きい。

方法	100 項での誤差
ライプニッツ級数	$0.0025$
ウォリスの積	$0.0039$
正多角形（96 角形）	$0.00056$

正多角形は辺の数を倍にするだけで誤差が $\frac{1}{4}$ になるので、少ない手数で桁が伸びます。

級数のほうは、変形して収束を速めます^[2]。マチンの公式は $arctan$ の引数が小さいぶん、1 項ごとに桁が増えます。

$n \to \infty lim (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} - lo g n)$ はいくつですか。

$0$
$0.5772 \dots$
発散する

__RESULT__

$H_{n}$ も $lo g n$ もどちらも発散しますが、差は $γ = 0.5772156649 \dots$ に収束します。 $0$ は 2 つが完全に一致すると見た誤り、発散は差をとらずに片方だけを見た誤りです。

級数の側も確かめます。

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots$ を $50$ 項まで足したとき、和との差はどのくらいですか。

$\frac{1}{101}$ より小さい
$\frac{1}{50}$ より大きい
$\frac{1}{2500}$ より小さい

__RESULT__

交代級数では、部分和と和の差が次の項より小さくなります。 $51$ 項目は $\frac{1}{101}$ なので、差はそれ未満です。 $\frac{1}{2500}$ まで縮むのは、もっと速い級数の場合になります。

分数を足すだけの手続きが、 $π$ や $γ$ という有理数でない数に届く。極限は、有限の計算では作れない数を作る道具になっています。

参考文献

Euler-Mascheroni Constant. Wolfram MathWorld.

Gregory Series. Wolfram MathWorld.

Leonhard Euler. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Wallis Formula. Wolfram MathWorld.

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ の部分和は $0.7854$ に寄っていきます。これが $\frac{\pi}{4}$。分数だけを足しているのに円周率が現れる。ただし収束は遅く、$1000$ 項でも差が $0.00025$ 残ります。調和級数から $\log n$ を引くと $0.5772156649\ldots$ に落ち着き、これがオイラー・マスケローニ定数です。短冊が曲線からはみ出す面積の合計として説明できる。無理数かどうかが未解決であること、ウォリスの無限積、収束の速さの比較まで並べました。