置きかえて解いてよいのはどんなとき？合成関数の極限と連続性

$t = 3 x$ と置いて $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{3 x} = t \to 0 lim \frac{sin t}{t} = 1$ とやる。この置きかえは、いつでも正しいわけではありません。

次の 2 つを用意します。 $f (y)$ は $y \neq = 0$ のとき $0$ 、 $y = 0$ のとき $1$ 。 $g (x)$ はどの $x$ でも $0$ をとる定数関数です。

$x \to 0 lim g (x) = 0$ で、 $y \to 0 lim f (y) = 0$ 。置きかえれば答えは $0$ に見えます。

ところが $f (g (x)) = f (0) = 1$ なので、実際の極限は $1$ です。置きかえが答えを変えてしまいました。

いつなら置きかえてよいか

正しい形は次のものです。 $x \to a lim g (x) = L$ で、 $f$ が $L$ で連続なら成り立ちます^[1]。

$x \to a lim f (g (x)) = f (x \to a lim g (x)) = f (L)$

要になるのは $f$ の連続性です。連続とは、 $f (L)$ が定まっていて、しかもまわりの値の行き先と一致することでした。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… chainLabel[index] …)

反例のどこが壊れているか

冒頭の $f$ は $y = 0$ で連続ではありません。まわりの値は $0$ に向かうのに、 $f (0)$ だけが $1$ になっています。

置きかえの計算は「 $g (x)$ が $0$ に近い値をとるから、 $f$ の $0$ の近くでの様子を見ればよい」と考えています。

しかし $g$ は $0$ の近くではなく $0$ そのものをとり続ける。 $f$ が $0$ でだけ違う値を持つので、そこだけを拾ってしまいました。

もう 1 つの逃げ道

$f$ が連続でなくても、 $a$ の近くで $g (x) \neq = L$ が成り立てば置きかえは通ります。

$g$ が $L$ そのものを避けていれば、 $f$ の $L$ での値を拾わずに済むためです。冒頭の反例は、 $g$ が $L = 0$ をとり続けていた点が原因でした。

高校の問題では $g (x) = 3 x$ のように、 $x \neq = 0$ なら $g (x) \neq = 0$ となる形がほとんどです。だから安心して置きかえられます。

置きかえが安全なのは、 $f$ が連続であるか、 $g$ が行き先の値を避けているかのどちらかです。

どちらも成り立たないときだけ、答えが食い違う。定数関数を内側に置いたときがその典型になる。

例：内側が定数でない反例

$g (x) = x sin \frac{1}{x}$ とします。 $x \to 0$ で $g (x) \to 0$ ですが、 $g (x) = 0$ となる $x$ が $0$ の近くに無限個あります。

$\frac{1}{x} = k π$ 、つまり $x = \frac{1}{k π}$ のときがそれです。そこでは $f (g (x)) = f (0) = 1$ 。

ほかの点では $f (g (x)) = 0$ なので、 $f (g (x))$ は $0$ と $1$ を往復します。極限は存在しません。

内側が定数でなくても、行き先の値を無限回とるだけで崩れます。

例：正しい置きかえ

$x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x}$ を求めます。 $t = 3 x$ と置くと $x \to 0$ は $t \to 0$ 。

$\frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x} = 3 \cdot \frac{sin t}{t} \to 3$

$x \neq = 0$ なら $t \neq = 0$ なので、内側が行き先の値を避けています。安全な置きかえです。

例：指数の形

$x \to 0 lim (1 + 3 x)^{\frac{1}{x}}$ でも同じ手が使えます。 $t = 3 x$ と置きます。

$(1 + 3 x)^{\frac{1}{x}} = {(1 + t)^{\frac{1}{t}}}^{3} \to e^{3}$

外側の $y \mapsto y^{3}$ は連続なので、内側の極限 $e$ を先に求めてから 3 乗できます^[1]。

例：近づく先が $0$ でない場合

$x \to π lim \frac{sin x}{x - π}$ では $t = x - π$ と置きます。 $x \to π$ は $t \to 0$ です。

$sin (π + t) = - sin t$ なので、式は $- \frac{sin t}{t}$ になり、極限は $- 1$ 。

$x \neq = π$ なら $t \neq = 0$ なので、こちらも安全です。置きかえの前に、この確認をひとこと書いておくと安心できます。

数列に流すとき

数列でも同じ話になります。 $a_{n} \to L$ で $f$ が $L$ で連続なら $f (a_{n}) \to f (L)$ です^[2]^[4]。

$n \to \infty lim 1 + \frac{1}{n} = 1 = 1$ 、 $n \to \infty lim cos \frac{1}{n} = cos 0 = 1$ が、この形で片づきます。

数列の場合、項が $L$ に等しくても困りません。 $f$ が $L$ で連続なら、その値も $f (L)$ だからです^[4]。

連続関数の合成は連続

$g$ が $a$ で連続で、 $f$ が $g (a)$ で連続なら、 $f \circ g$ は $a$ で連続です^[1]。

多項式、三角関数、指数関数、対数関数はそれぞれの定義域で連続なので、これらを組み合わせた関数も連続になります。

$e^{s i n x}$ 、 $x^{2} + 1$ 、 $lo g (1 + x^{2})$ はどれも全体で連続です。極限は代入で求まります^[3]。

手順にすると

内側の極限

L

を求める。

外側が

L

で連続かを確かめる。

連続でなければ、内側が

L

を避けているかを確かめる。

どちらかが成り立てば、置きかえて計算する。

高校の問題では 2 番目か 3 番目のどちらかがほぼ自動的に成り立ちます。それでも、なぜ置きかえてよいかを 1 度は追っておくと、崩れる形に出会ったときに気づけます。

安全な置きかえ

$t = 3 x$ 、 $t = x - π$ など。 $x$ が近づく先を外せば $t$ も外れる

危ない置きかえ

内側が行き先の値を何度もとる形。定数関数や $x sin \frac{1}{x}$ が該当する

$x \to a lim g (x) = L$ のとき、 $x \to a lim f (g (x)) = f (L)$ を保証する条件はどれですか。

$f$ が $L$ で連続であること
$f$ が $a$ で連続であること
$g$ が $a$ で連続であること

__RESULT__

外側の $f$ を当てるのは内側の行き先 $L$ の位置なので、そこでの連続性が要ります。 $f$ が $a$ で連続でも、 $a$ と $L$ は別の点なので関係しません。 $g$ の連続性は $x \to a lim g (x) = g (a)$ を言うだけです。

置きかえの例も確かめます。

$x \to 0 lim \frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}}$ を $t = 2 x$ と置いて求めるといくつですか。

$2$
$\frac{1}{2}$
$1$

__RESULT__

$x = \frac{t}{2}$ なので式は $\frac{1 - cos t}{t ^{2} /4} = 4 \cdot \frac{1 - cos t}{t ^{2}}$ になり、 $4 \times \frac{1}{2} = 2$ です。 $\frac{1}{2}$ は $x$ と $t$ の対応を忘れた値、 $1$ は係数を半端に処理した値になります。

置きかえは、外側が内側の行き先で連続なら通ります。連続でない関数を外側に置く場面はまれですが、その 1 例を知っていると、どこに条件が効いているかが見えます。

参考文献

*Continuity*. Calculus Volume 1, OpenStax.

Oliver Deiser. *Nachweis der Stetigkeit*. Einführung in die Mathematik 1.2.

David Guichard. *Computing limits*. Whitman College.

Folgenkriterium für Stetigkeit. Lexikon der Mathematik, Spektrum.

$y \neq 0$ で $0$、$y = 0$ で $1$ をとる $f$ と、つねに $0$ をとる $g$ を組み合わせると、置きかえた答えは $0$、本当の答えは $1$ になります。$\lim f(g(x)) = f(\lim g(x))$ が通るのは、外側が内側の行き先で連続なとき。連続でなくても、内側がその値を避けていれば通ります。$t = 3x$ や $t = x-\pi$ が安全な理由、$x\sin\frac{1}{x}$ を内側に置くと崩れる例、連続関数どうしの合成が連続になること、数列への流し方まで並べました。