置きかえて解いてよいのはどんなとき？合成関数の極限と連続性

$t=3x$ と置いて $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{3x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$ とやる。この置きかえは、いつでも正しいわけではありません。

次の 2 つを用意します。$f(y)$ は $y\ne 0$ のとき $0$、$y=0$ のとき $1$。$g(x)$ はどの $x$ でも $0$ をとる定数関数です。

$\underset{x\to 0}{\lim }g(x)=0$ で、$\underset{y\to 0}{\lim }f(y)=0$。置きかえれば答えは $0$ に見えます。

ところが $f(g(x))=f(0)=1$ なので、実際の極限は $1$ です。置きかえが答えを変えてしまいました。

いつなら置きかえてよいか

正しい形は次のものです。$\underset{x\to a}{\lim }g(x)=L$ で、$f$ が $L$ で連続なら成り立ちます^[1]。

$$\underset{x\to a}{\lim }f(g(x))=f\left(\underset{x\to a}{\lim }g(x)\right)=f(L)$$

要になるのは $f$ の連続性です。連続とは、$f(L)$ が定まっていて、しかもまわりの値の行き先と一致することでした。

反例のどこが壊れているか

冒頭の $f$ は $y=0$ で連続ではありません。まわりの値は $0$ に向かうのに、$f(0)$ だけが $1$ になっています。

置きかえの計算は「$g(x)$ が $0$ に近い値をとるから、$f$ の $0$ の近くでの様子を見ればよい」と考えています。

しかし $g$ は $0$ の近くではなく $0$ そのものをとり続ける。$f$ が $0$ でだけ違う値を持つので、そこだけを拾ってしまいました。

もう 1 つの逃げ道

$f$ が連続でなくても、$a$ の近くで $g(x)\ne L$ が成り立てば置きかえは通ります。

$g$ が $L$ そのものを避けていれば、$f$ の $L$ での値を拾わずに済むためです。冒頭の反例は、$g$ が $L=0$ をとり続けていた点が原因でした。

高校の問題では $g(x)=3x$ のように、$x\ne 0$ なら $g(x)\ne 0$ となる形がほとんどです。だから安心して置きかえられます。

例：内側が定数でない反例

$g(x)=x\sin \frac{1}{x}$ とします。$x\to 0$ で $g(x)\to 0$ ですが、$g(x)=0$ となる $x$ が $0$ の近くに無限個あります。

$\frac{1}{x}=k\pi$、つまり $x=\frac{1}{k\pi }$ のときがそれです。そこでは $f(g(x))=f(0)=1$。

ほかの点では $f(g(x))=0$ なので、$f(g(x))$ は $0$ と $1$ を往復します。極限は存在しません。

内側が定数でなくても、行き先の値を無限回とるだけで崩れます。

例：正しい置きかえ

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}$ を求めます。$t=3x$ と置くと $x\to 0$ は $t\to 0$。

$$\frac{\sin 3x}{x}=3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}=3\cdot \frac{\sin t}{t}\to 3$$

$x\ne 0$ なら $t\ne 0$ なので、内側が行き先の値を避けています。安全な置きかえです。

例：指数の形

$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}$ でも同じ手が使えます。$t=3x$ と置きます。

$$(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}={\left\{(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\right\}}^3\to e^3$$

外側の $y\mapsto y^3$ は連続なので、内側の極限 $e$ を先に求めてから 3 乗できます^[1]。

例：近づく先が $0$ でない場合

$\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\sin x}{x-\pi }$ では $t=x-\pi$ と置きます。$x\to \pi$ は $t\to 0$ です。

$\sin (\pi +t)=-\sin t$ なので、式は $-\frac{\sin t}{t}$ になり、極限は $-1$。

$x\ne \pi$ なら $t\ne 0$ なので、こちらも安全です。置きかえの前に、この確認をひとこと書いておくと安心できます。

数列に流すとき

数列でも同じ話になります。$a_n\to L$ で $f$ が $L$ で連続なら $f(a_n)\to f(L)$ です^[2][4]。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\sqrt{1}=1$、$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos \frac{1}{n}=\cos 0=1$ が、この形で片づきます。

数列の場合、項が $L$ に等しくても困りません。$f$ が $L$ で連続なら、その値も $f(L)$ だからです^[4]。

連続関数の合成は連続

$g$ が $a$ で連続で、$f$ が $g(a)$ で連続なら、$f\circ g$ は $a$ で連続です^[1]。

多項式、三角関数、指数関数、対数関数はそれぞれの定義域で連続なので、これらを組み合わせた関数も連続になります。

$e^{\sin x}$、$\sqrt{x^2+1}$、$\log (1+x^2)$ はどれも全体で連続です。極限は代入で求まります^[3]。

手順にすると

高校の問題では 2 番目か 3 番目のどちらかがほぼ自動的に成り立ちます。それでも、なぜ置きかえてよいかを 1 度は追っておくと、崩れる形に出会ったときに気づけます。

置きかえの例も確かめます。

置きかえは、外側が内側の行き先で連続なら通ります。連続でない関数を外側に置く場面はまれですが、その 1 例を知っていると、どこに条件が効いているかが見えます。

参考文献