関数の極限は数列に流せる、逆が言えない理由と反例の作り方

$f (x) = sin π x$ に整数を入れると、 $f (1) = 0$ 、 $f (2) = 0$ 、 $f (3) = 0$ 。数列 ${f (n)}$ は $0$ に収束します。

ところが関数のほうは $- 1$ と $1$ のあいだを揺れ続け、 $x \to \infty lim sin π x$ は存在しません。

数列の極限と関数の極限は、片方向にしかつながらない。どちら向きに使えるかを間違えると、間違った結論が出ます。

関数から数列へは流せる

$a_{n} = f (n)$ という形の数列を考えます。 $x \to \infty lim f (x) = L$ なら、 $n \to \infty lim a_{n} = L$ です^[1]。

理由は素直で、実数全体で $L$ に近づくなら、その中の整数だけを拾っても $L$ に近づくためです。

$(1 + \frac{1}{x})^{x} \to e$ が分かっていれば、 $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e$ もそこから出ます。

逆は言えない

数列 ${f (n)}$ が収束しても、関数 $f (x)$ が収束するとは限りません。冒頭の $sin π x$ がその例です。

整数では毎回ちょうど $0$ を通りますが、あいだでは $1$ まで上がって $- 1$ まで下がっている。とびとびに見ているので、山も谷も素通りします。

$f (x) = cos 2 π x$ なら $f (n) = 1$ で、数列は $1$ に収束します。関数のほうはやはり振動したままです。

なぜ片方向なのか

定義を並べると理由が見えます。関数の極限は「 $x$ をある値より大きくすれば」という形で、実数すべてに条件を課します^[2]。

数列のほうは「番号をある番号より先にすれば」で、整数の上だけを見ています^[4]。

条件が強い側から弱い側へは流せる。逆はできません。強い主張を弱い主張からとり出すことはできないためです。

関数の極限

$x$ が実数として近づく。すべての経路を見る

数列の極限

$n$ が整数として進む。1 本の経路だけを見る

数列で反例を作る

この向きの違いは、反例づくりに使えます。関数の極限が存在するなら、近づき方をどう選んでも同じ値になるためです^[3]。

言いかえると、 $a$ に収束する数列 ${x_{n}}$ をどうとっても $f (x_{n}) \to L$ となることが、 $x \to a lim f (x) = L$ と同値になります^[3]。

だから 2 つの数列で違う値が出れば、その時点で極限は存在しないと言えます。

例： $sin \frac{1}{x}$ の極限が存在しないこと

$x_{n} = \frac{1}{nπ}$ とすると $x_{n} \to 0$ で、 $sin \frac{1}{x _{n}} = sin nπ = 0$ 。数列の値はずっと $0$ です。

$y_{n} = \frac{1}{\frac{π}{2} + 2 nπ}$ とすると、こちらも $y_{n} \to 0$ ですが $sin \frac{1}{y _{n}} = 1$ 。

同じ $0$ への近づき方で行き先が $0$ と $1$ に分かれました。よって $x \to 0 lim sin \frac{1}{x}$ は存在しません^[3]。

2 つの数列で違う値が出れば、それだけで極限の不在が示せます^[3]。

すべての近づき方を調べる必要はない。食い違う例を 2 つ挙げれば終わる。

例：有理数と無理数で分ける

有理数で $1$ 、無理数で $0$ をとる関数を考えます。どの点 $a$ の近くにも有理数と無理数の両方があります。

有理数だけを並べた数列で近づけば値は $1$ 、無理数だけなら $0$ 。どの点でも極限が存在しません。

したがってこの関数は、どこでも連続でない。数列を 2 通り選ぶだけで結論が出ます。

連続なら極限と順序を入れかえられる

$a_{n} \to L$ で $f$ が $L$ で連続なら、 $f (a_{n}) \to f (L)$ です^[1]^[3]。

$n \to \infty lim f (a_{n}) = f (n \to \infty lim a_{n})$

$n \to \infty lim 1 + \frac{1}{n} = 1 = 1$ 、 $n \to \infty lim lo g (1 + \frac{1}{n}) = lo g 1 = 0$ が、この形で片づきます。

中身の極限を先に計算してから、関数を当てればよい。連続でない関数ではこの交換ができません。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… swapOrderNode[index][2] …)

例：関数の道具を数列に持ちこむ

$n \to \infty lim n sin \frac{1}{n}$ を求めます。 $x = \frac{1}{n}$ と置くと $\frac{sin x}{x}$ の形です。

$n \to \infty$ は $x \to + 0$ にあたるので、極限は $1$ 。 $n = 10$ で $0.998334$ 、 $n = 100$ で $0.9999833$ です。

$n \to \infty lim n (2^{\frac{1}{n}} - 1)$ も同じ手で、 $\frac{2 ^{x} - 1}{x} \to lo g 2$ から $lo g 2 = 0.6931$ になります。

$n \to \infty lim n^{2} (1 - cos \frac{1}{n})$ なら $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \to \frac{1}{2}$ で、答えは $\frac{1}{2}$ 。

数列にしかない道具

流れが片方向なので、数列の側にしかない武器もあります。

上に有界で単調増加なら収束する、という判定が使える。

数学的帰納法で不等式や単調性を示せる。

漸化式という形で数列を定義できる。

番号が整数なので、階乗や二項係数が扱える。

近づき方が 1 通りしかないのは弱点でもあり、強みでもある。整数という構造を使った議論が組めます。

片側という区別がない

関数では $x \to a - 0$ と $x \to a + 0$ を分けました。数列にこの区別はありません。

$n$ は $1, 2, 3, \dots$ と一方向にしか進まないので、近づく向きが最初から 1 つに決まっています。

$n \to \infty$ しかないぶん、数列の極限は関数より単純になります。

$a_{n} = cos 2 π n$ とします。正しいものはどれですか。

数列は $1$ に収束するが、 $x \to \infty lim cos 2 π x$ は存在しない
数列も関数もどちらも $1$ に収束する
数列も発散する

__RESULT__

整数 $n$ では $cos 2 π n = 1$ なので、数列は定数列で $1$ に収束します。関数のほうは $- 1$ と $1$ のあいだを振動し続けるので極限を持ちません。数列の収束から関数の収束は言えません。

置きかえの向きも確かめます。

$n \to \infty lim n tan \frac{1}{n}$ はいくつですか。

$1$
$0$
$\infty$

__RESULT__

$x = \frac{1}{n}$ と置くと $\frac{tan x}{x}$ になり、 $x \to + 0$ で $1$ です。 $0$ は $tan \frac{1}{n} \to 0$ だけを見た誤り、 $\infty$ は $n \to \infty$ だけを見た誤りになります。

関数で得た結果は数列へ持ちこめる。数列の結果を関数へ戻すことはできない。この向きさえ押さえておけば、置きかえは安全に使えます。

出典

*Sequences*. Calculus Volume 2, OpenStax.

*The Precise Definition of a Limit*. Calculus Volume 1, OpenStax.

Folgenkriterium für Stetigkeit. Lexikon der Mathematik, Spektrum.

Limit. Encyclopedia of Mathematics.

$\sin \pi x$ に整数を入れると値は毎回 $0$ で、数列は $0$ に収束します。それでも $\lim_{x \to \infty} \sin \pi x$ は存在しない。関数の極限から数列の極限は言えますが、逆は言えません。整数だけを拾うと、点と点のあいだの山も谷も素通りするためです。この向きの差は反例づくりに使えます。$0$ へ向かう数列を 2 通り選んで $\sin\frac{1}{x}$ の値が $0$ と $1$ に割れることを示せば、極限の不在が決まる。連続なら極限と順序を入れかえられること、$n\sin\frac{1}{n}$ のような置きかえまで並べました。