関数の極限は数列に流せる、逆が言えない理由と反例の作り方

$f(x)=\sin \pi x$ に整数を入れると、$f(1)=0$、$f(2)=0$、$f(3)=0$。数列 $\{f(n)\}$ は $0$ に収束します。

ところが関数のほうは $-1$ と $1$ のあいだを揺れ続け、$\underset{x\to \infty }{\lim }\sin \pi x$ は存在しません。

数列の極限と関数の極限は、片方向にしかつながらない。どちら向きに使えるかを間違えると、間違った結論が出ます。

関数から数列へは流せる

$a_n=f(n)$ という形の数列を考えます。$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L$ なら、$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L$ です^[1]。

理由は素直で、実数全体で $L$ に近づくなら、その中の整数だけを拾っても $L$ に近づくためです。

${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x\to e$ が分かっていれば、${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to e$ もそこから出ます。

逆は言えない

数列 $\{f(n)\}$ が収束しても、関数 $f(x)$ が収束するとは限りません。冒頭の $\sin \pi x$ がその例です。

整数では毎回ちょうど $0$ を通りますが、あいだでは $1$ まで上がって $-1$ まで下がっている。とびとびに見ているので、山も谷も素通りします。

$f(x)=\cos 2\pi x$ なら $f(n)=1$ で、数列は $1$ に収束します。関数のほうはやはり振動したままです。

なぜ片方向なのか

定義を並べると理由が見えます。関数の極限は「$x$ をある値より大きくすれば」という形で、実数すべてに条件を課します^[2]。

数列のほうは「番号をある番号より先にすれば」で、整数の上だけを見ています^[4]。

条件が強い側から弱い側へは流せる。逆はできません。強い主張を弱い主張からとり出すことはできないためです。

数列で反例を作る

この向きの違いは、反例づくりに使えます。関数の極限が存在するなら、近づき方をどう選んでも同じ値になるためです^[3]。

言いかえると、$a$ に収束する数列 $\{x_n\}$ をどうとっても $f(x_n)\to L$ となることが、$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ と同値になります^[3]。

だから 2 つの数列で違う値が出れば、その時点で極限は存在しないと言えます。

例：$\sin \frac{1}{x}$ の極限が存在しないこと

$x_n=\frac{1}{n\pi }$ とすると $x_n\to 0$ で、$\sin \frac{1}{x_n}=\sin n\pi =0$。数列の値はずっと $0$ です。

$y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$ とすると、こちらも $y_n\to 0$ ですが $\sin \frac{1}{y_n}=1$。

同じ $0$ への近づき方で行き先が $0$ と $1$ に分かれました。よって $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$ は存在しません^[3]。

例：有理数と無理数で分ける

有理数で $1$、無理数で $0$ をとる関数を考えます。どの点 $a$ の近くにも有理数と無理数の両方があります。

有理数だけを並べた数列で近づけば値は $1$、無理数だけなら $0$。どの点でも極限が存在しません。

したがってこの関数は、どこでも連続でない。数列を 2 通り選ぶだけで結論が出ます。

連続なら極限と順序を入れかえられる

$a_n\to L$ で $f$ が $L$ で連続なら、$f(a_n)\to f(L)$ です^[1][3]。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }f(a_n)=f\left(\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\right)$$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{1}{n}}=\sqrt{1}=1$、$\underset{n\to \infty }{\lim }\log \left(1+\frac{1}{n}\right)=\log 1=0$ が、この形で片づきます。

中身の極限を先に計算してから、関数を当てればよい。連続でない関数ではこの交換ができません。

例：関数の道具を数列に持ちこむ

$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin \frac{1}{n}$ を求めます。$x=\frac{1}{n}$ と置くと $\frac{\sin x}{x}$ の形です。

$n\to \infty$ は $x\to +0$ にあたるので、極限は $1$。$n=10$ で $0.998334$、$n=100$ で $0.9999833$ です。

$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)$ も同じ手で、$\frac{2^x-1}{x}\to \log 2$ から $\log 2=0.6931$ になります。

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$ なら $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$ で、答えは $\frac{1}{2}$。

数列にしかない道具

流れが片方向なので、数列の側にしかない武器もあります。

近づき方が 1 通りしかないのは弱点でもあり、強みでもある。整数という構造を使った議論が組めます。

片側という区別がない

関数では $x\to a-0$ と $x\to a+0$ を分けました。数列にこの区別はありません。

$n$ は $1,2,3,\dots$ と一方向にしか進まないので、近づく向きが最初から 1 つに決まっています。

$n\to \infty$ しかないぶん、数列の極限は関数より単純になります。

置きかえの向きも確かめます。

関数で得た結果は数列へ持ちこめる。数列の結果を関数へ戻すことはできない。この向きさえ押さえておけば、置きかえは安全に使えます。

出典