解けなくても解があると言い切れる - 中間値の定理と方程式の実数解

$f(x)=x^3-3x+1$ に $x=0$ を入れると $1$、$x=1$ を入れると $-1$ です。正から負へ変わっているので、あいだのどこかで $0$ を通っています。

つまり $x^3-3x+1=0$ は $0$ と $1$ のあいだに解を持つ。解の値を求めなくても、そう言い切れます。

根拠は中間値の定理です^[1]。連続な関数は値を飛ばさない、という主張になります。

中間値の定理

$f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続とします。$f(a)$ と $f(b)$ のあいだにある値 $z$ を 1 つとると、$f(c)=z$ となる $c$ が $[a,b]$ の中にあります^[1][2]。

グラフで言えば、横線 $y=z$ を引くと必ずどこかで曲線と交わる。切れ目がないので、またぐことができません。

特別な場合として、$f(a)$ と $f(b)$ の符号が違えば $0$ をとる点があります^[2][3]。

$$f(a)f(b)<0⟹f(c)=0\text{となる}c\in (a,b)\text{が存在する}$$

こちらを零点定理と呼びます。$g(x)=f(x)-z$ と置けば中間値の定理から出るので、2 つは同じ内容です^[2]。

連続でないと成り立たない

$f(x)=\frac{1}{x}$ を $[-1,1]$ で見ると、$f(-1)=-1$、$f(1)=1$ です。符号は変わっています。

それでも値が $0$ になる点はありません。$x=0$ で切れているためです。

定理が要求しているのは、区間の全体で連続であること。1 点でも欠けると結論が崩れます^[1]。

例：解が 3 つあることを示す

$f(x)=x^3-3x+1$ の符号を、いくつかの点で調べます。

符号が 3 回入れ替わっているので、区間 $(-2,-1)$、$(-1,1)$、$(1,2)$ のそれぞれに解があります。

3 次方程式の解は多くても 3 個なので、これでちょうど 3 個と決まりました。実際の値は $-1.8794$、$0.3473$、$1.5321$ です。

半分に切って追いつめる

証明の中身が、そのまま計算方法になります。区間を半分に切り、解のあるほうを選ぶ、という手順です^[2][3]。

中点 $c=\frac{a+b}{2}$ で符号を調べます。$f(a)f(c)<0$ なら解は $(a,c)$ に、そうでなければ $[c,b]$ にあります^[3]。

これを繰り返すと、区間の幅は 1 回ごとに半分になる。$n$ 回で $\frac{b-a}{2^n}$ です。

例：二分法で $\sqrt{2}$ を出す

$f(x)=x^2-2$ を $[1,2]$ で調べます。$f(1)=-1$、$f(2)=2$ で符号が違うので、解があります。

中点 $1.5$ では $f=0.25$ で正。解は $[1,1.5]$ に移ります。

次の中点 $1.25$ では $f=-0.4375$ で負なので、区間は $[1.25,1.5]$。

$10$ 回で小数第 3 位まで決まります。速くはありませんが、符号を見るだけなので何にでも使える方法です^[3]。

例：$\cos x=x$ の解

$g(x)=\cos x-x$ と置きます。$g(0)=1>0$、$g(1)=\cos 1-1=-0.4597<0$。

符号が変わるので $(0,1)$ に解があります。値は $0.7390851$ で、初等関数では書けません。

存在だけなら 2 か所の符号を見れば言える。値を出すには二分法のような手続きが要ります。

例：どこかで自分自身に戻る

$f$ が $[0,1]$ から $[0,1]$ への連続関数なら、$f(c)=c$ となる $c$ が必ずあります。

$g(x)=f(x)-x$ と置きます。$f(0)\ge 0$ なので $g(0)\ge 0$、$f(1)\le 1$ なので $g(1)\le 0$。

符号が変わるか、端で $0$ になるかのどちらかです。零点定理から $g(c)=0$、つまり $f(c)=c$ が言えます。

紙を丸めて元の紙の上に置くと、必ず 1 点だけ真上に重なる点がある。この主張の 1 次元版になっています。

例：地球の反対側と同じ温度の点

赤道上の点を角 $\theta$ で表し、温度を $T(\theta )$ とします。$T$ が連続だとして、$g(\theta )=T(\theta )-T(\theta +\pi )$ と置きます。

$g(0)=T(0)-T(\pi )$、$g(\pi )=T(\pi )-T(2\pi )=T(\pi )-T(0)=-g(0)$ です。

$g(0)$ と $g(\pi )$ は符号が逆なので、あいだに $g(c)=0$ となる点があります。そこでは反対側の点と温度が等しい。

逆は言えない

中間値の性質を持つのに連続でない関数もあります。$x=0$ で $\sin \frac{1}{x}$ の形をした関数がその例です。

原点のどんな近くでも $-1$ から $1$ までのすべての値をとるので、値を飛ばしません。それでも $x=0$ で連続ではない。

中間値の定理は連続から出る性質であって、連続の言いかえではありません^[1]。

誰が証明したか

この定理の解析的な証明は、ボルツァーノが 1817 年の論文で与えました^[4]。無限小の概念に頼らずに微積分を組み直そうとした仕事です^[4]。

同じ論文でコーシー列にあたる概念も定義されています^[4]。実数の完全性が、区間を半分に切り続ける議論を支えている。

前提のほうも確かめます。

値を求めずに存在だけを言う。それができると、解けない方程式でも解の個数や位置が議論できるようになります。

参考