どんなべき乗にも追いつけない（対数関数の極限と log x / x の行き先）

$lo g 10 = 2.303$ 、 $lo g 1000 = 6.908$ 、 $lo g 1 0^{9} = 20.72$ 。真数を 1 億倍にしても、値は $20$ 台にしかなりません。

それでも上限はなく、 $x \to \infty$ で $lo g x \to \infty$ です^[3]。増え続けるが、増え方がとにかく遅い。

この遅さは比をとると見えます。 $x$ で割ると $0$ に潰れる。

$x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$

どんなべき乗にも負ける

$x$ で割った場合だけではありません。 $x^{0.01}$ のような小さい指数で割っても $0$ になります^[1]^[2]。

$x \to \infty lim \frac{lo g x}{x ^{p}} = 0 (p > 0)$

理由は指数関数の側から見ると分かります。 $e^{x}$ はどんな多項式より速く伸びるので、その逆関数である $lo g$ はどんな累乗根より遅い^[1]。

例：数値で確かめる

$\frac{lo g x}{x}$ の値を並べます。 $x = 10$ で $0.230$ 、 $x = 1000$ で $0.0069$ 、 $x = 1 0^{6}$ で $0.0000138$ 。

$\frac{lo g x}{x}$ でも同じです。 $x = 1 0^{6}$ で $\frac{13.82}{1000} = 0.0138$ 。遅いだけで、行き先は変わりません。

数列でも同様で、 $n \to \infty lim \frac{lo g n}{n} = 0$ が成り立ちます。

$0$ に近づく側

$x \to + 0$ では $lo g x \to - \infty$ です^[3]。真数が小さいほど、値は下へ落ちていく。

ところが $x$ を掛けると打ち消し合います。 $0$ に向かうものと $- \infty$ に向かうものの積で、不定形の $0 \times \infty$ 型です。

$x \to + 0 lim x lo g x = 0$

$t = \frac{1}{x}$ と置くと $x lo g x = - \frac{lo g t}{t}$ になり、 $t \to \infty$ での先ほどの結果に戻ります。

$x = 0.1$ で $- 0.230$ 、 $x = 0.01$ で $- 0.046$ 、 $x = 0.001$ で $- 0.0069$ 。 $x$ の縮み方が勝ちます。

例： $x^{x}$ の行き先

$x \to + 0 lim x^{x}$ を求めます。底も指数も $0$ に向かうので $0^{0}$ の形です^[2]。

対数をとると積に直せます^[2]。 $y = x^{x}$ として $lo g y = x lo g x$ 。

右辺は $0$ に向かうので $lo g y \to 0$ 、つまり $y \to e^{0} = 1$ です。

$x = 0.1$ で $0.794$ 、 $x = 0.01$ で $0.955$ 、 $x = 0.001$ で $0.993$ 。たしかに $1$ へ上がっていきます。

指数の形の不定形は、対数をとって積や商の形に直してから極限をとります^[2]。

$0^{0}$ 、 $1^{\infty}$ 、 $\infty^{0}$ の 3 つが対象。最後に指数関数に戻すのを忘れない。

例：真数が $1$ に近づくとき

$x \to 0 lim \frac{lo g ( 1 + x )}{x} = 1$ が成り立ちます^[1]。 $lo g 1 = 0$ なので $\frac{0}{0}$ の形。

$lo g (1 + x)^{1/ x}$ と書き直すと、中身が $e$ に向かうので値は $lo g e = 1$ です。

$x \to 1$ での $\frac{lo g x}{x - 1}$ も同じ極限になります。 $t = x - 1$ と置けば上の形に戻る。

$x = 1.001$ で $\frac{0.0009995}{0.001} = 0.9995$ 。 $1$ の近くでは $lo g x$ が $x - 1$ とほぼ等しくなります。

例：底が $e$ でないとき

底が $a$ の対数は、底の変換公式で自然対数の定数倍になります。

$lo g_{a} x = \frac{lo g x}{lo g a}$

$x \to \infty lim \frac{lo g _{2} x}{x} = \frac{1}{lo g 2} x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$ で、結論は変わりません。

底が $1$ より小さいと $lo g a < 0$ なので符号が逆になります。 $x \to \infty lim lo g_{1/2} x = - \infty$ です。

例：対数の差

$x \to \infty lim {lo g (x + 1) - lo g x}$ は $\infty - \infty$ の形です。

対数の性質で 1 つにまとめます。

$lo g (x + 1) - lo g x = lo g \frac{x + 1}{x} = lo g (1 + \frac{1}{x}) \to lo g 1 = 0$

$x = 100$ で $0.00995$ 。差をとる前は両方とも発散していますが、中身の比は $1$ に落ち着きます。

例：対数どうしの比

$x \to \infty lim \frac{lo g ( x ^{2} + 1 )}{lo g ( x ^{3} + 1 )}$ を求めます。両方とも $\infty$ ですが、比は決まります。

$lo g (x^{2} + 1) = lo g x^{2} + lo g (1 + \frac{1}{x ^{2}}) = 2 lo g x + lo g (1 + \frac{1}{x ^{2}})$ と分けます。

$\frac{2 lo g x + lo g ( 1 + \frac{1}{x ^{2}} )}{3 lo g x + lo g ( 1 + \frac{1}{x ^{3}} )} \to \frac{2}{3}$

$lo g x$ でくくると、真数の次数の比だけが残る。 $lo g$ の中身の定数項は効きません。

lo g x

はどんな正のべき乗にも負ける。

x \to + 0

では

x

を掛ければ打ち消せる。

指数の形は対数をとって積に直す。

底が違っても定数倍の差しかない。

対数の差は真数の比に直す。

増える速さの順番

$x \to \infty$ での伸び方には、はっきりした順序があります^[2]。

対数がいちばん遅く、次が多項式、指数関数がいちばん速い^[2]。どの隣どうしでも比が $0$ に向かいます。

分母に置いたとき

$\frac{lo g x}{x ^{p}}$ も $\frac{x ^{p}}{e ^{x}}$ も $0$ に向かう

分子に置いたとき

$\frac{x ^{p}}{lo g x}$ も $\frac{e ^{x}}{x ^{p}}$ も $\infty$ に発散する

底が 10 だった時代

対数はネイピアが 1614 年の著作で発表しました^[4]。もとの定義は 2 点の運動から作られていて、 $lo g 1 = 0$ になっていません^[4]。

ブリッグスが底を 10 にして $lo g 1 = 0$ とする表を提案し、ネイピアも同意しました^[4]。計算の道具としては、底 10 のほうが桁と直結して便利です。

微分すると余計な定数が出ない底は $e$ です。極限を扱うときは底を $e$ にそろえてから進めます。

$x \to \infty lim \frac{( lo g x ) ^{2}}{x}$ はいくつですか。

$0$
$\infty$
$1$

__RESULT__

$t = lo g x$ と置くと $x = e^{t}$ で、式は $\frac{t ^{2}}{e ^{t}}$ になります。指数関数は多項式より速いので $0$ です。対数を 2 乗しても、べき乗には追いつけません。

$0$ に近づく側も確かめます。

$x \to + 0 lim x^{2} lo g x$ はいくつですか。

$- \infty$
$0$
$- 1$

__RESULT__

$x lo g x \to 0$ に $x$ をもう 1 つ掛けた形なので $0$ です。 $lo g x$ は $- \infty$ へ向かいますが、 $x^{2}$ の縮み方のほうが速い。 $- 1$ は $x lo g x$ の最小値ととり違えた値になります。

対数は、増えるほうでも減るほうでも相手に負けます。 $x$ のべき乗を 1 つ掛けるか割るかすれば、ほとんどの形は片づきます。

参考文献

Oliver Deiser. *Der natürliche Logarithmus*. Erste Hilfe in Analysis.

*L'Hôpital's Rule*. Calculus Volume 1, OpenStax.

Logarithmic function. Encyclopedia of Mathematics.

John Napier. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

$\log 10^{9}$ でも $20.72$。真数を 1 億倍にしても値は $20$ 台にしかなりません。それでも上限はなく、$x$ で割ると $0$ に潰れる。$p$ をどれだけ小さくしても $\frac{\log x}{x^{p}} \to 0$ です。$x \to +0$ 側では $x\log x \to 0$ で、$\frac{1}{e}$ で最小値をとってから $0$ へ戻ります。対数をとって $x^{x} \to 1$ を出す手、$\frac{\log(1+x)}{x} \to 1$、$\log(x+1)-\log x$ の差、$\frac{\log(x^{2}+1)}{\log(x^{3}+1)} \to \frac{2}{3}$、底が 10 だった時代の話まで。