足す順番を変えると和が変わる！絶対収束と条件収束の境目

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ は $lo g 2 = 0.6931$ に収束する。

同じ項を並べ替えて $1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \dots$ とすると、和は $\frac{3}{2} lo g 2 = 1.0397$ になる。

足す項はまったく同じで、順番だけを変えた。それで和が変わる。有限個の足し算では起きないことである。

絶対収束と条件収束

級数 $\sum a_{n}$ について、 $\sum ∣ a_{n} ∣$ が収束するとき絶対収束という^[1]。

$\sum a_{n}$ は収束するのに $\sum ∣ a_{n} ∣$ が発散するとき、条件収束という^[1]。

$\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ は条件収束である。絶対値をとると調和級数になり、これは発散する^[3]。

$\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}$ なら絶対値をとっても収束するので、こちらは絶対収束になる。

絶対収束するなら、もとの級数も収束する^[1]。逆は成り立たないので、条件収束という別の枠が要る。

交代級数はいつ収束するか

符号が交互に変わる級数では、次の 2 つがそろえば収束する^[1]。

$0 < b_{n + 1} \leq b_{n}$ がすべての $n$ で成り立ち、 $n \to \infty lim b_{n} = 0$ であること^[1]。

$\frac{1}{n}$ は減り続けて $0$ に向かうので、 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ は収束する。絶対値のほうは発散したままである。

誤差の評価も付く。 $N$ 項までの部分和と和の差は、次の項を超えない^[1]。

$∣ S - S_{N} ∣ \leq b_{N + 1}$

並べ替えると和が変わる

条件収束する級数は、並べ替えによって好きな値に収束させられる^[2]。

実数 $A$ をどう指定しても、和が $A$ になる並べ替えが存在する^[2]。 $+ \infty$ や $- \infty$ に発散させることもできる^[2]。

リーマンの並べ替え定理と呼ばれる。足し算の順番が結果を変える、という主張である。

なぜそんなことができるのか

条件収束する級数を、正の項だけと負の項だけに分ける。 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ ならこうなる。

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots, - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \dots$

どちらも発散する。前者は $+ \infty$ 、後者は $- \infty$ である。両方が有限なら、絶対値の和も有限になってしまう。

正の項をいくらでも積める。負の項でいくらでも下げられる。しかも 1 つ 1 つの項は $0$ に向かう。

目標の値 $A$ を決めたら、 $A$ を超えるまで正の項を足す。超えたら $A$ を下回るまで負の項を足す。これを繰り返す。

行き過ぎの幅は、そのとき使った項の大きさ以下である。項が $0$ に向かうので、行き過ぎも $0$ に縮む。部分和は $A$ に収束する^[2]。

例： $\frac{3}{2} lo g 2$ になる並べ替え

正の項を 2 つ、負の項を 1 つ、という順に並べる。

$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{6} + \dots$

この並べ方の和は $\frac{3}{2} lo g 2 = 1.0397$ である。もとの $lo g 2 = 0.6931$ の $1.5$ 倍になった。

項を 1 つも足さず、1 つも捨てていない。順番だけが違う。

有限個の足し算では、順番を変えても和は変わらない。

無限個になると、極限をとる順序が結果に効く。並べ替えは部分和の作り方を変えている。

絶対収束なら並べ替えても変わらない

絶対収束する級数では、どんな並べ替えをしても和が変わらない^[1]^[2]。

正の項の和と負の項の和が、それぞれ有限だからである。有限どうしの引き算なので、順番に左右されない。

$\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{2}}$ は絶対収束なので、どう並べ替えても $\frac{π ^{2}}{12}$ のままである。

絶対収束

並べ替えても和は変わらない。有限の足し算と同じ感覚で扱える

条件収束

並べ替えで任意の値にできる。項の順番が答えの一部になっている

判定の手順

まず絶対値をとった級数を判定する。

比判定法、根判定法、

p

級数との比較などが使える。

絶対値の級数が収束すれば絶対収束で、もとの級数も収束する。

絶対値が発散したら、交代級数判定法などでもとの級数を調べる。

両方を通れば条件収束になる。

絶対値をとると符号の情報が消えるので、判定が楽になる。そのぶん、絶対値で発散したときは何も言えていない点に気をつける。

$n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ はどれにあたるか。

条件収束する
絶対収束する
発散する

__RESULT__

$\frac{1}{n}$ は減り続けて $0$ に向かうので、交代級数判定法から収束する。絶対値をとると $p = \frac{1}{2}$ の級数になり発散するので、条件収束である。

並べ替えの側も確かめる。

条件収束する級数を並べ替えたとき、起こりうるのはどれか。

和は必ずもとの値になる
好きな実数に収束させられる
必ず発散する

__RESULT__

リーマンの並べ替え定理から、どの実数を指定してもその値へ収束させる並べ方が存在する。 $\pm \infty$ へ発散させることもできる。もとの値のままにする並べ方もあるので、必ず発散するわけではない。

無限級数では、足す順番が答えの一部になっている。絶対値をとっても収束するかどうか。それがこの自由度を持つかどうかの境目である。

出典

*Alternating Series*. Calculus Volume 2, OpenStax.

Riemann theorem. Encyclopedia of Mathematics.

Claus Michael Ringel. *Folgen und Reihen*. Leitfaden Funktionen, Universität Bielefeld.

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots$ は $\log 2 = 0.6931$ ですが、同じ項を並べ替えると $\frac{3}{2}\log 2 = 1.0397$ になります。項を 1 つも足さず捨てもせず、順番だけを変えた結果。分かれ目は絶対値をとっても収束するかどうかです。条件収束する級数は、正の項の和が $+\infty$、負の項の和が $-\infty$ なので、目標を超えたら負、下回ったら正と選ぶだけで好きな実数へ収束させられます。交代級数判定法と誤差評価、絶対収束なら並べ替えが効かない理由まで。