周は無限なのに面積は有限｜コッホ雪片と跳ね返るボールで見る無限等比級数

高さ $1$ メートルからボールを落とします。跳ね返るたびに高さが $0.8$ 倍になるとすると、跳ね方は $0.8$、$0.64$、$0.512$ と続いて終わりません。

それでも、止まるまでに動く距離の合計は $9$ メートルで確定します。無限回跳ねるのに、道のりは有限です。

$$1+2\cdot 0.8+2\cdot 0.8^2+\cdots =1+\frac{2\cdot 0.8}{1-0.8}=9$$

無限に続く図形の量が有限に収まるかどうかは、公比が $1$ より内側にあるかどうかで決まります^[4]。

跳ね返るボール

高さ $h$ から落とし、跳ね返るたびに高さが $r$ 倍になるとします。$0<r<1$ です。

最初の落下が $h$、その後は上がって下りるので $2hr$、$2h{r}^2$、と続きます。

$$\begin{array}{rl}L& =h+2hr+2h{r}^2+\cdots \\ & =h+\frac{2hr}{1-r}=h\cdot \frac{1+r}{1-r}\end{array}$$

$h=1$、$r=0.8$ なら $\frac{1.8}{0.2}=9$ メートル。$r=0.5$ なら $3$ メートルです。

止まるまでの時間も有限

距離だけでなく時間も収束します。高さ $h$ から落ちるのにかかる時間は $\sqrt{\frac{2h}{g}}$ です。

$n$ 回目の跳躍は高さ $h{r}^n$ まで上がって戻るので、時間は $2\sqrt{\frac{2h}{g}}{\left(\sqrt{r}\right)}^n$。公比 $\sqrt{r}$ の等比級数になります。

$$T=\sqrt{\frac{2h}{g}}\cdot \frac{1+\sqrt{r}}{1-\sqrt{r}}$$

$h=1$、$r=0.8$、$g=9.8$ なら $T=8.1$ 秒。無限回の跳躍が $8.1$ 秒で終わります。

コッホ雪片

正三角形の各辺を 3 等分し、真ん中をとりのぞいてそこに小さい正三角形を立てます。これを繰り返した形がコッホ雪片です^[1]。

段階が 1 つ進むごとに、辺の本数は 4 倍、1 辺の長さは $\frac{1}{3}$ になります^[1]。

周の長さは発散する

$n$ 段階目の周の長さは $3{\left(\frac{4}{3}\right)}^n$ です^[1]。公比が $\frac{4}{3}>1$ なので、いくらでも長くなります。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }3{\left(\frac{4}{3}\right)}^n=\infty$$

$n=10$ で $53.3$、$n=50$ で $9.6\times 10^6$。有限の紙の上に、無限の長さの縁ができる。

コッホがこの曲線を発表したのは 1904 年です^[2]。どの点でも接線を持たない連続曲線の例として作られました^[2]。

面積は収束する

追加される三角形を数えます。$n$ 段階目では $3\cdot 4^{n-1}$ 個の三角形が増え、1 個の面積はもとの $\frac{1}{9^n}$ です。

$$3\cdot 4^{n-1}\cdot \frac{1}{9^n}=\frac{1}{3}{\left(\frac{4}{9}\right)}^{n-1}$$

公比 $\frac{4}{9}<1$ の等比級数なので収束します。

$$\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-\frac{4}{9}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{5}=\frac{3}{5}$$

もとの面積を $1$ とすると、合計は $1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5}$ です^[1]。1 辺 $1$ の正三角形から始めれば $\frac{2\sqrt{3}}{5}=0.6928$ になります^[1]。

同じ図形の別の量で、収束と発散が分かれました。公比がどちら側にあるかだけが効いています。

シェルピンスキーの三角形

正三角形を 4 つの小三角形に分け、真ん中をとりのぞきます。残った 3 つで同じことを繰り返す図形です^[3]。

$n$ 回で残る三角形は $3^n$ 個、面積の割合は ${\left(\frac{3}{4}\right)}^n$ です^[3]。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{3}{4}\right)}^n=0$$

面積は $0$ に落ちます。線は残り続けるのに、面積としては何も残らない。

入れ子になる正方形

1 辺 $a$ の正方形の各辺の中点を結ぶと、内側に正方形ができます。1 辺は $\frac{a}{\sqrt{2}}$、面積は半分です。

これを無限に続けたときの、周の長さの合計と面積の合計を求めます。

周は公比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の等比級数です。

$$4a+\frac{4a}{\sqrt{2}}+\frac{4a}{2}+\cdots =\frac{4a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=4a(2+\sqrt{2})$$

$4a\times 3.4142=13.66a$ になります。面積は公比 $\frac{1}{2}$ なので $\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=2a^2$ です。

円を並べる場合

半径 $r$ の円から始めて、半径が $\frac{1}{2}$ ずつになる円を無限に並べます。

面積は $\pi r^2$、$\frac{\pi r^2}{4}$、$\frac{\pi r^2}{16}$ と、公比 $\frac{1}{4}$ の等比級数です。

$$\frac{\pi r^2}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}\pi r^2$$

円周の合計なら公比が $\frac{1}{2}$ になり、$\frac{2\pi r}{1-\frac{1}{2}}=4\pi r$ です。

長さは 1 次、面積は 2 次なので、公比が 2 乗の関係になります。この差が収束と発散を分けることもある。

手順にすると 4 段階です。

跳ね返りのほうも確かめます。

図形が無限に細かくなっても、量が有限にとどまるかどうかは公比だけで決まります。1 段階でどれだけ縮むかを最初に求めれば、あとは等比級数の公式に載ります。

参考