積分を未知数と見て解く〜e^x sin x と部分積分

$\int e^{x} sin x d x$ に部分積分を当てると $\int e^{x} cos x d x$ が残る。もう一度当てると、こんどは最初の積分がそのまま戻ってくる。

繰り返しても簡単にならない。ところが、戻ってきた積分を未知数と見て方程式を解けば答えが出る^[1]。

$\int e^{x} sin x d x = \frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2} + C$

多項式のときは次数が下がって終わったが、こちらは下がらない。代わりに、堂々巡りそのものを利用する。

なぜ戻ってくるのか

$e^{x}$ は微分しても積分しても形が変わらない。 $sin x$ は 2 回微分すると符号だけ変わって戻る。

$sin x$

$cos x$

$- sin x$

どちらの因子も、2 回の操作で出発点に帰ってくる。だから積分全体も 2 回で一周する。

2 回当てて方程式にする

$I = \int e^{x} sin x d x$ 、 $J = \int e^{x} cos x d x$ と置く。 $e^{x}$ を積分側に固定して 2 回当てる。

1 回目は $f = sin x$ 、 $g^{'} = e^{x}$ とする。

$I = e^{x} sin x - \int e^{x} cos x d x = e^{x} sin x - J$

2 回目は $J$ に当てる。 $f = cos x$ なので $f^{'} = - sin x$ である。

$J = e^{x} cos x + \int e^{x} sin x d x = e^{x} cos x + I$

$J$ を消すと $I$ についての方程式になる。

$I 2 I I = e^{x} sin x - (e^{x} cos x + I) = e^{x} (sin x - cos x) = \frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2} + C$

移項して $2$ で割るだけ。積分記号が両辺に出てくる形を、そのまま連立方程式として扱っている^[3]。

例 1： $e^{x} cos x$

$J = e^{x} cos x + I$ に、求めた $I$ を代入する。

$J = e^{x} cos x + \frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2} = \frac{e ^{x} ( 2 cos x + sin x - cos x )}{2} = \frac{e ^{x} ( cos x + sin x )}{2} + C$

$sin$ 版と $cos$ 版で、括弧の中の符号だけが違う。

一般の形

$\int e^{a x} sin b x d x$ も同じ手順で解ける。分母に $a^{2} + b^{2}$ が出る^[2]。

$\int e^{a x} sin b x d x = \frac{e ^{a x} ( a sin b x - b cos b x )}{a ^{2} + b ^{2}} + C$

$\int e^{a x} cos b x d x = \frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}} + C$

$a = b = 1$ を入れると、分母が $2$ になって前の答えに戻る。

例 2： $e^{2 x} sin 3 x$

$a = 2$ 、 $b = 3$ なので $a^{2} + b^{2} = 13$ である。

$\int e^{2 x} sin 3 x d x = \frac{e ^{2 x} ( 2 sin 3 x - 3 cos 3 x )}{13} + C$

公式を覚えなくても、その場で 2 回部分積分すれば同じ式が出る。試験では導けるほうが安全になる。

例 3： $e^{- x} cos 2 x$

$a = - 1$ 、 $b = 2$ で $a^{2} + b^{2} = 5$ である。

$\int e^{- x} cos 2 x d x = \frac{e ^{- x} ( - cos 2 x + 2 sin 2 x )}{5} + C$

$a$ が負でも式はそのまま使える。

例 4： $\int_{0}^{π} e^{x} sin x d x$

原始関数に代入する。 $sin π = 0$ 、 $cos π = - 1$ である。

$= [\frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2}]_{0}^{π} = \frac{e ^{π} ( 0 + 1 )}{2} - \frac{1 \cdot ( 0 - 1 )}{2} = \frac{e ^{π} + 1}{2}$

$e^{π} \approx 23.14$ なので、値はおよそ $12.07$ になる。

例 5： $\int_{0}^{π /2} e^{x} cos x d x$

$= [\frac{e ^{x} ( cos x + sin x )}{2}]_{0}^{π /2} = \frac{e ^{π /2} ( 0 + 1 )}{2} - \frac{1 + 0}{2} = \frac{e ^{π /2} - 1}{2}$

赤い曲線の高さの差が、青い面積になっている。原始関数と定積分の関係が 1 枚に収まっている。

途中で選び方を変えないこと

2 回目の部分積分では、1 回目と同じ側を微分側に置く。 $e^{x}$ を積分側に固定したまま進める。

途中で入れかえると、部分積分の式をそのまま逆にたどることになり、 $0 = 0$ という当たり前の式に落ちる。

同じ側を保つ

$e^{x}$ を積分側に固定。2 回目で $I$ が戻り、方程式が立つ

途中で入れかえる

もとの式へ引き返すだけ。 $I = I$ となって何も出ない

参考文献

Integration by parts. Wikipedia（英語）.

Lists of integrals. Wikipedia（英語）.

Paul Dawkins. *Integration by Parts*. Paul's Online Notes, Lamar University.

$\int e^x \sin x\,dx$ は部分積分を 2 回当てても簡単になりません。もとの積分がそっくり戻ってきます。そこで戻ってきたものを未知数と見て、移項して $2$ で割る。$e^x$ は微分しても変わらず、$\sin x$ は $2$ 回で符号だけ変えて戻るので、必ず一周する仕組みです。$e^{ax}\sin bx$ の分母が $a^2+b^2$ になる理由、途中で微分側を入れかえると $0 = 0$ に落ちる事情まで扱います。

積分を未知数と見て解く〜e^x sin x と部分積分

なぜ戻ってくるのか

2 回当てて方程式にする

例 1：excosx

一般の形

例 2：e2xsin3x

例 3：e−xcos2x

例 4：∫0π​exsinxdx