絶対値はそのままでは外せない、場合分けが要る定積分

$|f(x)|$ は 1 本の式ではない。$f(x)\ge 0$ の範囲では $f(x)$、$f(x)<0$ の範囲では $-f(x)$ という、2 つの式のつぎはぎである。

そのままでは原始関数が作れない。符号の変わり目で区間を切り、それぞれで絶対値を外してから積分する^[1]。

$${\int }_a^b|f(x)|dx={\int }_a^c\{-f(x)\}dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

$c$ は $f(c)=0$ となる点である。手順の中心は、この $c$ を見つけることになる。

手順

$f(x)=0$ の解が区間の外にあれば、切る必要はない。区間全体で符号が変わらないので、絶対値をそのまま外せる。

グラフでは折り返しになる

$|f|$ のグラフは、$f$ のグラフの $x$ 軸より下の部分を上へ折り返したものである。

折り返すと面積が符号付きでなくなる。$\int f$ は正と負が打ち消し合う量、$\int |f|$ は打ち消さない量になる。

赤い点が折り目である。この $x$ の値で区間を切れば、それぞれの中で符号が変わらなくなる。

例 1：1 次式の絶対値

$${\int }_0^3|x-1|dx$$

$x-1=0$ より $x=1$ で切る。$0\le x<1$ では $x-1<0$、$1<x\le 3$ では $x-1>0$ である。

$$\begin{array}{rl}& ={\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^3(x-1)dx\\ & ={\left[x-\frac{x^2}{2}\right]}_0^1+{\left[\frac{x^2}{2}-x\right]}_1^3\\ & =\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\end{array}$$

図で見ると、直角二等辺三角形が 2 つある。面積は $\frac{1}{2}$ と $2$ で、たしかに合う。

例 2：2 次式の絶対値

$${\int }_{-2}^2|x^2-1|dx$$

$x^2-1=0$ より $x=\pm 1$ である。区間の中に 2 つとも入っている。

被積分関数は偶関数なので、右半分を 2 倍すればよい。

$$\begin{array}{rl}& =2\left({\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx\right)\\ & =2\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\right)=4\end{array}$$

${\int }_0^1(1-x^2)dx=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$、${\int }_1^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_1^2=\frac{4}{3}$ である。

絶対値を付けない ${\int }_{-2}^2(x^2-1)dx=\frac{4}{3}$ と比べると、値がまったく違う。

例 3：$x^2-x$

$${\int }_0^2|x^2-x|dx$$

$x^2-x=x(x-1)$ なので、零点は $x=0,1$ である。区間の内部にあるのは $x=1$ だけ。

$0<x<1$ では $x^2-x<0$、$1<x<2$ では正である。

$$\begin{array}{rl}& ={\int }_0^1(x-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-x)dx\\ & =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]}_1^2\\ & =\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1\end{array}$$

例 4：三角関数の絶対値

$${\int }_0^{\pi }|\cos x|dx$$

$\cos x=0$ となるのは $x=\frac{\pi }{2}$ である。前半は正、後半は負。

$$\begin{array}{rl}& ={\int }_0^{\pi /2}\cos xdx+{\int }_{\pi /2}^{\pi }(-\cos x)dx\\ & =[\sin x{]}_0^{\pi /2}+[-\sin x{]}_{\pi /2}^{\pi }=1+1=2\end{array}$$

${\int }_0^{\pi }\cos xdx=0$ だったのに、絶対値を付けると $2$ になる。打ち消しがなくなったぶんである。

文字が入ると場合分けになる

区間の端や被積分関数に文字が入ると、折り目が区間の中にあるかどうかで話が変わる。

$${\int }_0^1|2x-a|dx$$

折り目は $x=\frac{a}{2}$ である。これが $[0,1]$ の中にあるのは $0\le a\le 2$ のときになる。

外にあるときは切る必要がない。区間全体で符号が一定なので、絶対値をそのまま外せる。

例 5：$0\le a\le 2$ の場合

$${\int }_0^{a/2}(a-2x)dx+{\int }_{a/2}^1(2x-a)dx$$

前半は ${\left[ax-x^2\right]}_0^{a/2}=\frac{a^2}{4}$ である。

後半は ${\left[x^2-ax\right]}_{a/2}^1=(1-a)+\frac{a^2}{4}$ になる。

$${\int }_0^1|2x-a|dx=\frac{a^2}{2}-a+1$$

$a=1$ を入れると $\frac{1}{2}$、$a=0$ と $a=2$ ではどちらも $1$ になる。折り目が真ん中にあるときが最小である。

$a$ が $1$ に近づくと緑のバーが最短になる。折り目が区間の中央にあるときが最小、という結果が目に見える。

符号付き面積との違い

絶対値の有無で、積分が測っている量が変わる。

「グラフと $x$ 軸で囲まれた面積」を問われたら、絶対値のほうを計算する^[2]。符号付きの値ではない。

参考文献