積の微分公式を裏返すだけで出てくる部分積分のしくみ

$x cos x$ のような積は、置換積分では手が出ない。 $cos x$ の中身を $x$ と置いても、外の $x$ が消えないためである。

こういう積を扱う道具が部分積分になる。積の微分公式をそのまま裏返しただけの式である^[1]。

$\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$

右辺にも積分が残るが、 $f$ が微分されて簡単になっていれば、そちらのほうが解きやすい。積分を 1 段やさしい積分に置きかえる道具だと思えばよい。

積の微分公式から出る

積の微分公式を書く。

${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

両辺を積分する。左辺は微分の積分なので $f (x) g (x)$ に戻る。

$f (x) g (x) = \int f^{'} (x) g (x) d x + \int f (x) g^{'} (x) d x$

片方の積分を左へ移せば、部分積分の式になる。導出はこれだけで終わる。ブルック・テイラーが 1715 年に発表した手法とされる^[4]。

図で見ると長方形の分割になる

$u = f (x)$ 、 $v = g (x)$ と置き、 $u$ と $v$ の平面に曲線を描く。曲線の下側と左側に分けた 2 つの面積が、それぞれの積分にあたる^[3]。

2 つを足すと長方形 $uv$ になる。これが部分積分の式そのものである。

青が $\int v d u$ 、赤が $\int u d v$ である。合わせて長方形になるので、片方を長方形から引けばもう片方が出る。

どちらを微分側にするか

部分積分では、2 つの因子のうち片方を微分し、もう片方を積分する。選び方で難しさが大きく変わる。

原則は 1 つ。微分すると簡単になるほうを微分側に置く^[2]。多項式は微分するたびに次数が下がるので、たいてい微分側になる。

右の選び方でも式としては正しい。ただし残った積分がもとより難しくなり、先へ進めない。

例 1： $x cos x$

$f = x$ 、 $g^{'} = cos x$ とする。 $f^{'} = 1$ 、 $g = sin x$ である。

$\int x cos x d x = x sin x - \int 1 \cdot sin x d x = x sin x + cos x + C$

微分して確かめる。 $(x sin x + cos x)^{'} = sin x + x cos x - sin x = x cos x$ となり、もとに戻った。

例 2： $x e^{x}$

$f = x$ 、 $g^{'} = e^{x}$ とする。 $g = e^{x}$ である。

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = (x - 1) e^{x} + C$

$e^{x}$ は何度積分しても形が変わらないので、積分側に置くのに向いている。

例 3： $x sin x$

$g^{'} = sin x$ なので $g = - cos x$ になる。符号を落としやすいところ。

$\int x sin x d x = - x cos x - \int (- cos x) d x = - x cos x + sin x + C$

例 4：1 次式と指数関数

$\int (x + 1) e^{2 x} d x$

$f = x + 1$ 、 $g^{'} = e^{2 x}$ とする。 $g = \frac{e ^{2 x}}{2}$ である。

$= (x + 1) \frac{e ^{2 x}}{2} - \int \frac{e ^{2 x}}{2} d x = \frac{( x + 1 ) e ^{2 x}}{2} - \frac{e ^{2 x}}{4} + C = \frac{( 2 x + 1 ) e ^{2 x}}{4} + C$

$g$ を求めるときに $\frac{1}{2}$ が出る。この係数を忘れると答え全体がずれる。

定積分の場合

$f g$ の部分に上端と下端を入れる。積分記号の外へ出た項も、区間で評価する。

$\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = [f (x) g (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$

$[f g]$ の値がその場で数になるので、残る積分だけを計算すれば終わる。

例 5： $\int_{0}^{1} x e^{x} d x$

$f = x$ 、 $g^{'} = e^{x}$ とする。

$\int_{0}^{1} x e^{x} d x = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - [e^{x}]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$

$e$ が出てきて、そのまま消える。答えはちょうど $1$ になる。

例 6： $\int_{0}^{π} x sin x d x$

$\int_{0}^{π} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x = π + [sin x]_{0}^{π} = π + 0 = π$

$- π cos π = π$ である。残った積分が $0$ になり、 $π$ だけが残る。

例 7： $\int_{0}^{π /2} x cos x d x$

$= [x sin x]_{0}^{π /2} - \int_{0}^{π /2} sin x d x = \frac{π}{2} - [- cos x]_{0}^{π /2} = \frac{π}{2} - 1$

部分積分を選ぶ目印

多項式と、三角関数または指数関数の積。多項式を微分側に置く。

lo g x

が掛かっている形。

lo g

を微分側に置く。

置換積分を試して、置き場所が見つからなかった形。

同じ関数が 2 回微分すると戻ってくる形。2 回使って方程式にする。

3 番目は消去法である。まず置換を探し、当たらなければ部分積分に回るという順番になる。

置換積分

中身とその微分がセットで現れる形。 $\int 2 x cos (x^{2}) d x$ のような合成関数

部分積分

無関係な 2 つの関数の積。 $\int x cos x d x$ のように中身と外が独立している

$x cos (x^{2})$ なら置換、 $x cos x$ なら部分積分。似た見た目でも、中身が $x^{2}$ か $x$ かで手が変わる。

参考文献

Integration by parts. Wikipedia（英語）.

Paul Dawkins. *Integration by Parts*. Paul's Online Notes, Lamar University.

Partielle Integration. Wikipedia（ドイツ語）.

Intégration par parties. Wikipédia（フランス語）.

$x\cos x$ のような積は置換では解けません。積の微分公式 $(fg)' = f'g + fg'$ を両辺積分して移項すれば、部分積分の式がそのまま出てくる。$u$-$v$ 平面では、曲線の下と左に分けた 2 つの面積を足すと長方形 $uv$ になるという図に対応します。選び方の原則は 1 つで、微分すると簡単になるほうを微分側へ。多項式ならたいてい微分側です。$x\cos x$ から定積分まで 7 通りの計算例を並べました。