周期関数の定積分 - 1 周期ぶんを何個ぶん足すか

$f (x + T) = f (x)$ をすべての $x$ で満たす関数を、周期 $T$ の周期関数という。 $sin x$ と $cos x$ は周期 $2 π$ である。

周期関数を 1 周期ぶん積分すると、区間をどこから始めても値が変わらない。

$\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x$

窓を横にずらしても、右から出ていくぶんと左から入ってくるぶんが同じだからである^[1]。この性質があると、長い区間の積分が掛け算だけで片づく。

窓をずらしても面積が変わらない

区間 $[a, a + T]$ を $[0, T]$ と比べる。ずれた部分は $[T, a + T]$ と $[0, a]$ で、周期性からこの 2 つの面積は等しい。

片方が抜けても、同じ量がもう片方から補われる。差し引きが $0$ になる。

数値が小数点以下まで動かない。窓の位置が積分に効かないという性質が、そのまま出ている。

何周期ぶんでも掛け算で済む

1 周期の値が分かれば、 $n$ 周期ぶんはその $n$ 倍である。

$\int_{0}^{n T} f (x) d x = n \int_{0}^{T} f (x) d x$

区間を $[0, T]$ 、 $[T, 2 T]$ 、 $\dots$ と切り分け、それぞれが同じ値になるためである。長い区間でも、計算するのは 1 周期ぶんだけになる。

例 1：1 周期ぶんの sin

$\int_{0}^{2 π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{2 π} = - 1 + 1 = 0$

前半の山と後半の谷が同じ大きさで、符号が逆だからである^[2]。 $cos x$ でも同じく $0$ になる。

始点をずらしても変わらない。 $\int_{1}^{1 + 2 π} sin x d x$ も $0$ である。

例 2：2 乗すると平均が $\frac{1}{2}$ になる

$\int_{0}^{2 π} sin^{2} x d x = \int_{0}^{2 π} \frac{1 - cos 2 x}{2} d x = π$

$cos 2 x$ の部分は 1 周期ぶんで消え、定数 $\frac{1}{2}$ だけが残る。区間の長さ $2 π$ に $\frac{1}{2}$ を掛けて $π$ になる。

$sin^{2} x$ の 1 周期の平均が $\frac{1}{2}$ である、という言い方もできる。交流の実効値が最大値の $\frac{1}{2}$ になるのは、この平均から出る。

例 3：長い区間の $sin^{2}$

$\int_{0}^{100 π} sin^{2} x d x$

$sin^{2} x$ の周期は $π$ である。 $sin^{2} (x + π) = (- sin x)^{2} = sin^{2} x$ となるため。

1 周期ぶんは $\int_{0}^{π} sin^{2} x d x = \frac{π}{2}$ で、それが $100$ 個ある。

$= 100 \cdot \frac{π}{2} = 50 π$

原始関数を求めて $100 π$ を代入するより、周期で数えるほうが速い。

周期が変わる関数

もとの関数より周期が短くなることがある。2 乗や絶対値をとると、負の部分が折り返されて半分になる。

$∣ sin x ∣$ も $sin^{2} x$ も周期は $π$ である。 $2 π$ で数えると個数が半分になり、答えも半分になってしまう。

例 4：絶対値の 1 周期

$\int_{0}^{π} ∣ sin x ∣ d x = \int_{0}^{π} sin x d x = 2$

$[0, π]$ では $sin x \geq 0$ なので、絶対値をそのまま外せる。山 1 つぶんが $2$ である。

$\int_{0}^{2 π} ∣ sin x ∣ d x = 2 \times 2 = 4$

絶対値を付けない $\int_{0}^{2 π} sin x d x = 0$ と比べると、違いがはっきりする。

例 5： $10 π$ までの絶対値

$\int_{0}^{10 π} ∣ sin x ∣ d x = 10 \times 2 = 20$

山が 10 個ある。数えるだけで答えが出る。

例 6：角の違う三角関数の積

$\int_{0}^{2 π} sin 2 x sin 3 x d x$

積和公式で和に直す。

$sin 2 x sin 3 x = \frac{1}{2} {cos x - cos 5 x}$

$cos x$ も $cos 5 x$ も、 $[0, 2 π]$ でちょうど整数回ぶんの周期になる。どちらの積分も $0$ である。

$= 0$

角が違えば $0$ 、同じなら $0$ でない^[3]。この性質は、フーリエ級数の出発点になる^[1]。

例 7：角が同じ場合

$\int_{0}^{2 π} sin^{2} 3 x d x = \int_{0}^{2 π} \frac{1 - cos 6 x}{2} d x = π$

$cos 6 x$ は $[0, 2 π]$ で 6 周期ぶんなので消える。定数 $\frac{1}{2}$ だけが残り、 $π$ になる。

角の数によらず $π$ になる。 $sin^{2}$ の平均が、いつでも $\frac{1}{2}$ だからである。

角が違う

積和で和に直すと、どちらも整数回の周期。積分は $0$

角が同じ

$2$ 乗になり、定数 $\frac{1}{2}$ が残る。積分は $π$

手順のまとめ

関数の周期

T

を確かめる。2 乗や絶対値では半分になる。

1 周期ぶんの積分を計算する。

区間の長さが

T

の何倍かを数える。

掛ける。端数が出たらその部分だけ別に計算する。

長い区間の定積分は、この 4 段でほとんど片づく。原始関数に大きい数を代入する必要がない。

参考文献

Periodic function. Wikipedia（英語）.

List of integrals of trigonometric functions. Wikipedia（英語）.

List of trigonometric identities. Wikipedia（英語）.

周期 $T$ の関数を $1$ 周期ぶん積分すると、区間をどこから始めても値は同じです。右から出ていくぶんと左から入ってくるぶんが等しいから。だから $\int_0^{nT}$ は $1$ 周期ぶんの $n$ 倍で済みます。落とし穴は周期そのもので、$|\sin x|$ も $\sin^2 x$ も $\pi$ が周期。$2\pi$ で数えると個数が半分ずれます。$\sin^2$ の平均が $\dfrac{1}{2}$ になることや、角の違う積が $0$ になることも扱います。