周期関数の定積分 - 1 周期ぶんを何個ぶん足すか

$f(x+T)=f(x)$ をすべての $x$ で満たす関数を、周期 $T$ の周期関数という。$\sin x$ と $\cos x$ は周期 $2\pi$ である。

周期関数を 1 周期ぶん積分すると、区間をどこから始めても値が変わらない。

$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$$

窓を横にずらしても、右から出ていくぶんと左から入ってくるぶんが同じだからである^[1]。この性質があると、長い区間の積分が掛け算だけで片づく。

窓をずらしても面積が変わらない

区間 $[a,a+T]$ を $[0,T]$ と比べる。ずれた部分は $[T,a+T]$ と $[0,a]$ で、周期性からこの 2 つの面積は等しい。

片方が抜けても、同じ量がもう片方から補われる。差し引きが $0$ になる。

数値が小数点以下まで動かない。窓の位置が積分に効かないという性質が、そのまま出ている。

何周期ぶんでも掛け算で済む

1 周期の値が分かれば、$n$ 周期ぶんはその $n$ 倍である。

$${\int }_0^{nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)dx$$

区間を $[0,T]$、$[T,2T]$、$\dots$ と切り分け、それぞれが同じ値になるためである。長い区間でも、計算するのは 1 周期ぶんだけになる。

例 1：1 周期ぶんの sin

$${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{2\pi }=-1+1=0$$

前半の山と後半の谷が同じ大きさで、符号が逆だからである^[2]。$\cos x$ でも同じく $0$ になる。

始点をずらしても変わらない。${\int }_1^{1+2\pi }\sin xdx$ も $0$ である。

例 2：2 乗すると平均が $\frac{1}{2}$ になる

$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{2\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\pi$$

$\cos 2x$ の部分は 1 周期ぶんで消え、定数 $\frac{1}{2}$ だけが残る。区間の長さ $2\pi$ に $\frac{1}{2}$ を掛けて $\pi$ になる。

${\sin }^{2}x$ の 1 周期の平均が $\frac{1}{2}$ である、という言い方もできる。交流の実効値が最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$ になるのは、この平均から出る。

例 3：長い区間の ${\sin }^2$

$${\int }_0^{100\pi }{\sin }^{2}xdx$$

${\sin }^{2}x$ の周期は $\pi$ である。${\sin }^2(x+\pi )=(-\sin x{)}^2={\sin }^{2}x$ となるため。

1 周期ぶんは ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$ で、それが $100$ 個ある。

$$=100\cdot \frac{\pi }{2}=50\pi$$

原始関数を求めて $100\pi$ を代入するより、周期で数えるほうが速い。

周期が変わる関数

もとの関数より周期が短くなることがある。2 乗や絶対値をとると、負の部分が折り返されて半分になる。

$|\sin x|$ も ${\sin }^{2}x$ も周期は $\pi$ である。$2\pi$ で数えると個数が半分になり、答えも半分になってしまう。

例 4：絶対値の 1 周期

$${\int }_0^{\pi }|\sin x|dx={\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$$

$[0,\pi ]$ では $\sin x\ge 0$ なので、絶対値をそのまま外せる。山 1 つぶんが $2$ である。

$${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx=2\times 2=4$$

絶対値を付けない ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=0$ と比べると、違いがはっきりする。

例 5：$10\pi$ までの絶対値

$${\int }_0^{10\pi }|\sin x|dx=10\times 2=20$$

山が 10 個ある。数えるだけで答えが出る。

例 6：角の違う三角関数の積

$${\int }_0^{2\pi }\sin 2x\sin 3xdx$$

積和公式で和に直す。

$$\sin 2x\sin 3x=\frac{1}{2}\{\cos x-\cos 5x\}$$

$\cos x$ も $\cos 5x$ も、$[0,2\pi ]$ でちょうど整数回ぶんの周期になる。どちらの積分も $0$ である。

$$=0$$

角が違えば $0$、同じなら $0$ でない^[3]。この性質は、フーリエ級数の出発点になる^[1]。

例 7：角が同じ場合

$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}3xdx={\int }_0^{2\pi }\frac{1-\cos 6x}{2}dx=\pi$$

$\cos 6x$ は $[0,2\pi ]$ で 6 周期ぶんなので消える。定数 $\frac{1}{2}$ だけが残り、$\pi$ になる。

角の数によらず $\pi$ になる。${\sin }^2$ の平均が、いつでも $\frac{1}{2}$ だからである。

手順のまとめ

長い区間の定積分は、この 4 段でほとんど片づく。原始関数に大きい数を代入する必要がない。

参考文献