なぜ答えに π が出てくる？分母が x2+a2 と √(a2-x2) の定積分

分母が $x^2+a^2$ や $\sqrt{a^2-x^2}$ になっている積分は、答えに $\pi$ が出てくる。円が隠れているからである。

$${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi }{4},{\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi }{2}$$

どちらも $x$ を三角関数で置き換えると、被積分関数がまるごと消えて $\int d\theta$ だけが残る。角そのものが答えになる形である^[1]。

高校では定積分の形で扱う。不定積分のままだと $\theta$ を $x$ に戻す必要があり、そこに逆三角関数が要るためである^[2]。

分母が $x^2+a^2$ なら $x=a\tan \theta$

$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ を使う^[3]。$x=a\tan \theta$ と置くと、分母と $dx$ が同じ形になって打ち消し合う。

$$\begin{array}{rl}{x}^2+a^2& =a^2{\tan }^2\theta +a^2=\frac{a^2}{{\cos }^2\theta }\\ dx& =\frac{a}{{\cos }^2\theta }d\theta \end{array}$$

割ると $\frac{1}{a}d\theta$ になる。積分は角の差を測るだけの計算に変わる。

$$\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\int d\theta =\frac{\theta }{a}+C$$

分母が $\sqrt{a^2-x^2}$ なら $x=a\sin \theta$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を使う。ルートの中が平方になる。

$$\begin{array}{rl}\sqrt{a^2-x^2}& =\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2\theta }=a\cos \theta \\ dx& =a\cos \theta d\theta \end{array}$$

こちらも割ると $d\theta$ だけが残る。$a$ すら消える。

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int d\theta =\theta +C$$

$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ にとる。この範囲なら $\cos \theta \ge 0$ なので、ルートを外すときに絶対値が要らない。

$x$ が遠くまで走っても、対応する $\theta$ は $\frac{\pi }{2}$ の手前で止まる。定積分の値が有限にとどまる理由がここにある。

積分区間を書きかえる

定積分では、上端と下端も $\theta$ の値に直す。$x$ の値を代入して、対応する角を読む。

置換したあとは $x$ に戻さない。角の値のまま代入して終わる。

例 1：${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}$

$a=1$ なので $x=\tan \theta$ と置く。$x:0\to 1$ に対して $\theta :0\to \frac{\pi }{4}$ である。

$${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}={\int }_0^{\pi /4}d\theta =\frac{\pi }{4}$$

被積分関数がすべて消えて、角の幅がそのまま答えになった。

例 2：${\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2+1}$

上端が変わるだけ。$\tan \theta =\sqrt{3}$ より $\theta =\frac{\pi }{3}$ である。

$${\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2+1}=\frac{\pi }{3}$$

例 3：$a$ が $1$ でない場合

$${\int }_0^2\frac{dx}{x^2+4}$$

$a=2$ なので $x=2\tan \theta$ と置く。$x:0\to 2$ に対して $\tan \theta :0\to 1$、つまり $\theta :0\to \frac{\pi }{4}$。

$${\int }_0^2\frac{dx}{x^2+4}=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}d\theta =\frac{\pi }{8}$$

$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$ が前に出る。$a$ が大きいほど値が小さくなる。

例 4：${\int }_0^3\frac{dx}{x^2+9}$

同じ形で $a=3$。$x=3\tan \theta$、$\theta :0\to \frac{\pi }{4}$ である。

$${\int }_0^3\frac{dx}{x^2+9}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{12}$$

上端が $a$ に等しいときは、いつでも $\theta$ が $\frac{\pi }{4}$ まで動く。答えは $\frac{\pi }{4a}$ になる。

例 5：係数が付いた形

$${\int }_0^{1/2}\frac{dx}{4x^2+1}$$

先に $u=2x$ と置いて標準形に直す。$du=2dx$、$u:0\to 1$ である。

$$=\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{du}{u^2+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}$$

$x^2$ の係数を $1$ にしてから当てると、迷わずに済む。

例 6：${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

$x=\sin \theta$ と置く。$x:0\to 1$ に対して $\theta :0\to \frac{\pi }{2}$ である。

$${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}={\int }_0^{\pi /2}d\theta =\frac{\pi }{2}$$

被積分関数は $x=1$ で発散するのに、積分の値は有限にとどまる。角のほうで見ると、ただの $\frac{\pi }{2}$ の幅である。

例 7：${\int }_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

$\sin \theta =\frac{1}{2}$ より $\theta =\frac{\pi }{6}$ である。

$${\int }_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{\pi }{6}$$

例 8：半径が $1$ でない場合

$${\int }_0^{\sqrt{2}}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$$

$a=2$ なので $x=2\sin \theta$ と置く。$\sin \theta :0\to \frac{\sqrt{2}}{2}$ より $\theta :0\to \frac{\pi }{4}$。

$${\int }_0^{\sqrt{2}}\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}={\int }_0^{\pi /4}d\theta =\frac{\pi }{4}$$

こちらは $a$ が前に出ない。分母の $a\cos \theta$ と $dx$ の $a\cos \theta$ が完全に打ち消し合うためである。

上端を伸ばすとどうなるか

${\int }_0^b\frac{dx}{x^2+1}$ の上端 $b$ を大きくしていく。対応する角 ${\theta }_b$ は $\tan {\theta }_b=b$ を満たす。

$b$ をいくら大きくしても ${\theta }_b$ は $\frac{\pi }{2}$ を超えない。したがって積分の値も $\frac{\pi }{2}$ より小さいままである。

グラフの裾が長く伸びているのに、その下の面積が有限にとどまる。分母が $x^2$ で増えるほど速く、裾が薄いためである。

例 9：対称性を使う

$${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2+1}$$

被積分関数は偶関数なので、$0$ から $1$ までを 2 倍すればよい。

$$=2{\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}=2\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$

置換する前に対称性を見ておくと、計算が半分で済む。

例 10：平方完成してから当てる

$${\int }_0^1\frac{dx}{x^2-2x+5}$$

分母をそのままでは形が合わない。平方完成する。

$$x^2-2x+5=(x-1{)}^2+4$$

$u=x-1$ と置けば標準形になる。$u:-1\to 0$ である。

$${\int }_{-1}^0\frac{du}{u^2+4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{8}$$

最後は $u=2\tan \theta$ で $\theta :-\frac{\pi }{4}\to 0$ となり、幅が $\frac{\pi }{4}$ である。

参考文献