三角関数を分数式に変えてしまう置換（万能置換 t = tan(x/2)）

$\int \frac{dx}{1+\sin x}$ のように、三角関数が分母に入った分数は手がかりがつかみにくい。次数下げも置換も、そのままでは当たらない。

こういうときには $t=\tan \frac{x}{2}$ の置換が効く。$\sin x$ も $\cos x$ も $t$ の分数式に化けるので、三角関数の問題が有理関数の問題に変わる^[1]。

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}$$

どんな三角関数の分数式にも当たるので、万能置換と呼ばれる。オイラーが 1768 年の教科書で使っている^[1]。

3 つの式を導く

半角の関係から出る。${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+t^2}$ が出発点になる。

$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ に $\theta =\frac{x}{2}$ を入れれば、この形が出る。

2 倍角の公式に代入する。

$$\begin{array}{rl}\sin x& =2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=2\tan \frac{x}{2}{\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x& ={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}={\cos }^2\frac{x}{2}\left(1-{\tan }^2\frac{x}{2}\right)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{array}$$

$dx$ は $t=\tan \frac{x}{2}$ の両辺を微分して出す。$dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{\cos }^2(x/2)}dx=\frac{1+t^2}{2}dx$ である。

円の上で見る

3 つの式には幾何的な意味がある。単位円の点 $(-1,0)$ から引いた直線の傾きが $t$ になる。

円周角の定理から、その直線が円と交わる点の中心角は $x$ になる。傾き $t$ の直線 1 本と、円周上の点 1 つが対応している。

円周角が中心角の半分になるので、直線のなす角は $\frac{x}{2}$ である。傾きが $\tan \frac{x}{2}$ になる理由がこれになる。

例 1：$\int \frac{dx}{1+\cos x}$

$1+\cos x$ を $t$ で書く。分母が驚くほど簡単になる。

$$1+\cos x=1+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}$$

これで積分が計算できる。

$$\int \frac{dx}{1+\cos x}=\int \frac{2dt}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2}=\int dt=\tan \frac{x}{2}+C$$

答えが置換した $t$ そのものになった。微分して確かめると ${\left(\tan \frac{x}{2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2{\cos }^2(x/2)}=\frac{1}{1+\cos x}$ である。

例 2：$\int \frac{dx}{1+\sin x}$

こんどは分母が平方になる。

$$1+\sin x=1+\frac{2t}{1+t^2}=\frac{(1+t{)}^2}{1+t^2}$$

$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{1+\sin x}& =\int \frac{2dt}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{(1+t{)}^2}=\int \frac{2dt}{(1+t{)}^2}\\ & =-\frac{2}{1+t}+C=-\frac{2}{1+\tan \frac{x}{2}}+C\end{array}$$

例 3：$\int \frac{dx}{\sin x}$

分母が $\sin x$ だけでも当たる。

$$\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{2dt}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2t}=\int \frac{dt}{t}=\log \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C$$

$\frac{1}{\sin x}$ の原始関数が $\log \left|\tan \frac{x}{2}\right|$ になる^[3]。この形は覚えておくと速い。

数値がぴたりとそろう。$\sin x$ と $\cos x$ が、$t$ の分数式として完全に書けている。

定積分では区間も置きかえる

$x=0$ なら $t=0$、$x=\frac{\pi }{2}$ なら $t=\tan \frac{\pi }{4}=1$ である。

$x=\pi$ で $t$ が発散する。この点をまたぐ区間では使えない^[2]。区間を分けるか、別の手を探す。

例 4：${\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{1+\sin x}$

例 2 の原始関数に代入する。$x:0\to \frac{\pi }{2}$ で $t:0\to 1$ である。

$$={\left[-\frac{2}{1+t}\right]}_0^1=-\frac{2}{2}+\frac{2}{1}=1$$

答えはちょうど $1$ になる。

例 5：${\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{2+\cos x}$

分母を $t$ で書く。

$$2+\cos x=2+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{3+t^2}{1+t^2}$$

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{2+\cos x}={\int }_0^1\frac{2dt}{t^2+3}$$

ここから先は分母が $t^2+(\sqrt{3}{)}^2$ の形なので、$t=\sqrt{3}\tan \theta$ と置く。$t:0\to 1$ で $\tan \theta :0\to \frac{1}{\sqrt{3}}$、つまり $\theta :0\to \frac{\pi }{6}$。

$$=2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}\pi }{9}$$

万能置換で有理関数に落とし、そのあと三角置換でしめる。2 段構えになる。

例 6：部分分数分解につながる形

$$\int \frac{dx}{3+5\cos x}$$

分母を書きかえる。

$$3+5\cos x=3+\frac{5(1-t^2)}{1+t^2}=\frac{8-2t^2}{1+t^2}$$

$$\int \frac{dx}{3+5\cos x}=\int \frac{2dt}{8-2t^2}=\int \frac{dt}{4-t^2}$$

$4-t^2=(2-t)(2+t)$ なので、部分分数分解に回る。

$$\frac{1}{4-t^2}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2-t}+\frac{1}{2+t}\right)$$

$$=\frac{1}{4}\log \left|\frac{2+t}{2-t}\right|+C=\frac{1}{4}\log \left|\frac{2+\tan \frac{x}{2}}{2-\tan \frac{x}{2}}\right|+C$$

分母の $2$ 次式が因数分解できるかどうかで、行き先が三角置換か部分分数分解かに分かれる。

いつ使うか

万能置換はどんな三角関数の分数式にも当たるが、計算量は多い。まず簡単な手を試すほうが速い。

最後の手段として持っておく道具になる。使えると分かっていれば、解けないという事態は起きない。

参考文献