分母を見れば行き先が決まる｜有理関数の積分をどの手で解くか

多項式を多項式で割った形を有理関数という。この形の積分は、必ず解ける。しかも打つ手は 4 つしかない^[1]。

問題は、どの手を選ぶかである。分母と分子を見て順に判定すれば、迷わずに行き先が決まる。

分子の次数を下げる

分母を因数分解する

分子が分母の微分か見る

残りを分解して積分する

上から順に確かめるだけでよい。以下ではこの流れを 1 段ずつたどる。

判断の地図

分岐は分母の形で決まる。1 枚にまとめると次のようになる。

第 1 段：分子の次数を下げる

分子の次数が分母以上なら、まず割り算をする。商と余りに分ければ、多項式の積分と真分数の積分に分かれる。

$\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x ^{2} + 1}$

左辺のままでは手が出ないが、右辺なら定数と既知の形の和になる。分子の次数を下げるだけで景色が変わる。

例 1：割り切れる場合

$\int \frac{x ^{3} + 1}{x + 1} d x$

$x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ なので、割ると多項式だけが残る。

$= \int (x^{2} - x + 1) d x = \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + x + C$

割り切れるなら、そこで話が終わる。

例 2：割った余りが残る場合

$\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{x ^{2} + 1}) d x$

第 2 項は $x = tan θ$ の置換で $\frac{π}{4}$ になる。

$= 1 - \frac{π}{4}$

第 2 段：分子が分母の微分か見る

割り算のあと、分子と分母を見比べる。分子が分母の導関数なら、その場で $lo g$ になる^[2]。

$\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 1} d x = lo g ∣ x^{2} + x + 1∣ + C$

分母を微分すると $2 x + 1$ で、分子と一致している。分解の必要がない。

定数倍のずれなら調整できる。 $\frac{x}{x ^{2} + 1}$ なら $\frac{1}{2}$ を前に出せばよい。

第 3 段：分母を因数分解する

因数分解できれば部分分数分解へ回る。できるかどうかは判別式で決まる。

$2$ 次式 $x^{2} + b x + c$ なら、 $D = b^{2} - 4 c$ の符号を見る。 $D > 0$ で 2 つの 1 次式の積、 $D < 0$ で分解できない。

例 3：1 次式の積に分かれる

$\int \frac{3 x + 2}{( x - 1 ) ( x + 2 )} d x$

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ と置く。分母を払うと $3 x + 2 = A (x + 2) + B (x - 1)$ になる。

$x = 1$ を代入して $5 = 3 A$ 、 $x = - 2$ を代入して $- 4 = - 3 B$ である。

$A = \frac{5}{3}, B = \frac{4}{3}$

$\int \frac{3 x + 2}{( x - 1 ) ( x + 2 )} d x = \frac{5}{3} lo g ∣ x - 1∣ + \frac{4}{3} lo g ∣ x + 2∣ + C$

代入する値は、分母が $0$ になる $x$ を選ぶ。片方の項が消えて係数が 1 発で出る。

例 4：もっとも簡単な分解

$\int \frac{d x}{x ( x + 1 )} = \int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}) d x = lo g \frac{x}{x + 1} + C$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{1}{x ( x + 1 )}$ である。通分して確かめられる。

例 5：差の形

$\int \frac{d x}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}) d x = \frac{1}{2} lo g \frac{x - 1}{x + 1} + C$

$\frac{1}{2}$ が前に出る。 $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ で、2 つの根の差が $2$ だからである。

第 4 段：分解できないなら平方完成

$D < 0$ なら 1 次式の積にできない。平方完成して $(x - p)^{2} + q^{2}$ の形にし、三角置換へ回す^[3]。

例 6： $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2} + 2 x + 5}$

分母を平方完成する。

$x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4$

$u = x + 1$ と置くと $u : 0 \to 2$ である。

$= \int_{0}^{2} \frac{d u}{u ^{2} + 4} = \frac{π}{8}$

$u = 2 tan θ$ で $θ : 0 \to \frac{π}{4}$ 、係数 $\frac{1}{2}$ が前に出る。

分子が 1 次式の場合は 2 つに割る

分母が既約な 2 次式で、分子が 1 次式のときは、 $\frac{f ^{'}}{f}$ の部分と定数の部分に分ける。

例 7： $\int_{0}^{2} \frac{x + 3}{x ^{2} + 4} d x$

分子を $x$ の項と定数の項に分ける。

$\frac{x + 3}{x ^{2} + 4} = \frac{x}{x ^{2} + 4} + \frac{3}{x ^{2} + 4}$

第 1 項は $\frac{f ^{'}}{f}$ 型、第 2 項は三角置換である。

$\int_{0}^{2} \frac{x}{x ^{2} + 4} d x \int_{0}^{2} \frac{3}{x ^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} [lo g (x^{2} + 4)]_{0}^{2} = \frac{lo g 2}{2} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} = \frac{3 π}{8}$

$\int_{0}^{2} \frac{x + 3}{x ^{2} + 4} d x = \frac{lo g 2}{2} + \frac{3 π}{8}$

$lo g$ と $π$ が両方出てくる。既約 2 次式が分母にあるときの典型的な答えの形になる。

分子に

x

の項がある

$\frac{f ^{'}}{f}$ 型に整えて $lo g$ にする

分子が定数だけ

平方完成して三角置換へ回す

判定の順番をまとめる

見るところ	条件	行き先
分子の次数	分母以上	割って帯分数に
分子と分母	微分の関係	$lo g$
分母の判別式	$D \geq 0$	部分分数分解
分母の判別式	$D < 0$	平方完成と三角置換

この 4 つで有理関数はすべて片づく。上から順に当てはめれば、選択に迷うところがない。

有理関数の積分に「解けない」はない。 $lo g$ と三角置換と多項式の 3 つに必ず落ちるためである。

難しく見える形でも、割り算と因数分解で整理すれば、既知の部品の和になる。

参考文献

Partial fraction decomposition. Wikipedia（英語）.

Logarithmic derivative. Wikipedia（英語）.

Trigonometric substitution. Wikipedia（英語）.

多項式を多項式で割った形の積分に、解けないものはありません。打つ手は 4 つだけ。分子の次数が分母以上なら割って帯分数に、分子が分母の微分なら $\log$、分母が因数分解できれば部分分数分解、できなければ平方完成して三角置換へ。判別式の符号が最後の分岐を決めます。分子が $1$ 次式なら $\dfrac{f'}{f}$ の部分と定数の部分に割る。答えに $\log$ と $\pi$ が同居するのはそのためです。