分母を見れば行き先が決まる｜有理関数の積分をどの手で解くか

多項式を多項式で割った形を有理関数という。この形の積分は、必ず解ける。しかも打つ手は 4 つしかない^[1]。

問題は、どの手を選ぶかである。分母と分子を見て順に判定すれば、迷わずに行き先が決まる。

上から順に確かめるだけでよい。以下ではこの流れを 1 段ずつたどる。

判断の地図

分岐は分母の形で決まる。1 枚にまとめると次のようになる。

第 1 段：分子の次数を下げる

分子の次数が分母以上なら、まず割り算をする。商と余りに分ければ、多項式の積分と真分数の積分に分かれる。

$$\frac{x^2}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}$$

左辺のままでは手が出ないが、右辺なら定数と既知の形の和になる。分子の次数を下げるだけで景色が変わる。

例 1：割り切れる場合

$$\int \frac{x^3+1}{x+1}dx$$

$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ なので、割ると多項式だけが残る。

$$=\int (x^2-x+1)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x+C$$

割り切れるなら、そこで話が終わる。

例 2：割った余りが残る場合

$${\int }_0^1\frac{x^2}{x^2+1}dx={\int }_0^1\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)dx$$

第 2 項は $x=\tan \theta$ の置換で $\frac{\pi }{4}$ になる。

$$=1-\frac{\pi }{4}$$

第 2 段：分子が分母の微分か見る

割り算のあと、分子と分母を見比べる。分子が分母の導関数なら、その場で $\log$ になる^[2]。

$$\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx=\log |x^2+x+1|+C$$

分母を微分すると $2x+1$ で、分子と一致している。分解の必要がない。

定数倍のずれなら調整できる。$\frac{x}{x^2+1}$ なら $\frac{1}{2}$ を前に出せばよい。

第 3 段：分母を因数分解する

因数分解できれば部分分数分解へ回る。できるかどうかは判別式で決まる。

$2$ 次式 $x^2+bx+c$ なら、$D=b^2-4c$ の符号を見る。$D>0$ で 2 つの 1 次式の積、$D<0$ で分解できない。

例 3：1 次式の積に分かれる

$$\int \frac{3x+2}{(x-1)(x+2)}dx$$

$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$ と置く。分母を払うと $3x+2=A(x+2)+B(x-1)$ になる。

$x=1$ を代入して $5=3A$、$x=-2$ を代入して $-4=-3B$ である。

$$A=\frac{5}{3},B=\frac{4}{3}$$

$$\int \frac{3x+2}{(x-1)(x+2)}dx=\frac{5}{3}\log |x-1|+\frac{4}{3}\log |x+2|+C$$

代入する値は、分母が $0$ になる $x$ を選ぶ。片方の項が消えて係数が 1 発で出る。

例 4：もっとも簡単な分解

$$\int \frac{dx}{x(x+1)}=\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx=\log \left|\frac{x}{x+1}\right|+C$$

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}$ である。通分して確かめられる。

例 5：差の形

$$\int \frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx=\frac{1}{2}\log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$$

$\frac{1}{2}$ が前に出る。$x^2-1=(x-1)(x+1)$ で、2 つの根の差が $2$ だからである。

第 4 段：分解できないなら平方完成

$D<0$ なら 1 次式の積にできない。平方完成して $(x-p{)}^2+q^2$ の形にし、三角置換へ回す^[3]。

例 6：${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2+2x+5}$

分母を平方完成する。

$$x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$$

$u=x+1$ と置くと $u:0\to 2$ である。

$$={\int }_0^2\frac{du}{u^2+4}=\frac{\pi }{8}$$

$u=2\tan \theta$ で $\theta :0\to \frac{\pi }{4}$、係数 $\frac{1}{2}$ が前に出る。

分子が 1 次式の場合は 2 つに割る

分母が既約な 2 次式で、分子が 1 次式のときは、$\frac{f^{\prime }}{f}$ の部分と定数の部分に分ける。

例 7：${\int }_0^2\frac{x+3}{x^2+4}dx$

分子を $x$ の項と定数の項に分ける。

$$\frac{x+3}{x^2+4}=\frac{x}{x^2+4}+\frac{3}{x^2+4}$$

第 1 項は $\frac{f^{\prime }}{f}$ 型、第 2 項は三角置換である。

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^2\frac{x}{x^2+4}dx& =\frac{1}{2}[\log (x^2+4){]}_0^2=\frac{\log 2}{2}\\ {\int }_0^2\frac{3}{x^2+4}dx& =3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{8}\end{array}$$

$${\int }_0^2\frac{x+3}{x^2+4}dx=\frac{\log 2}{2}+\frac{3\pi }{8}$$

$\log$ と $\pi$ が両方出てくる。既約 2 次式が分母にあるときの典型的な答えの形になる。

判定の順番をまとめる

この 4 つで有理関数はすべて片づく。上から順に当てはめれば、選択に迷うところがない。

参考文献