偶数乗は次数を下げ、奇数乗は 1 つ抜く（三角関数の積分）

$\sin x$ と $\cos x$ はそのまま積分できるが、${\sin }^{2}x$ や ${\sin }^{3}x{\cos }^{2}x$ になると公式が当たらない。

打つ手は 2 つしかない。次数を下げるか、置換に持ちこむか。どちらを選ぶかは、指数が偶数か奇数かで決まる^[1]。

積の形も同じで、$\sin 3x\cos 2x$ のような形は積和公式で和に直せば、あとは 1 次式の積分になる。

2 乗は次数を下げる

2 倍角の公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ を ${\sin }^{2}x$ について解く。

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},{\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

右辺はどちらも 1 次式の三角関数なので、そのまま積分できる。2 乗を消して角を 2 倍にする、という交換をしている^[3]。

赤い破線が青に重なる瞬間が、振幅がちょうど $\frac{1}{2}$ になったところ。${\sin }^{2}x$ は「高さ $\frac{1}{2}$ の台の上で $\cos 2x$ が振れている」形をしている。

例 1：${\sin }^{2}x$ と ${\cos }^{2}x$

$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{2}xdx& =\int \frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C\\ \int {\cos }^{2}xdx& =\int \frac{1+\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C\end{array}$$

符号だけが違う。2 つを足すと $x+C$ になり、${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ と辻褄が合う。

例 2：${\sin }^{4}x$ は 2 回下げる

1 回下げても ${\cos }^{2}2x$ が残るので、もう一度下げる。

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{4}x& ={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}\\ & =\frac{1}{4}\left(1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}\right)=\frac{3}{8}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}\end{array}$$

ここまで来れば 1 次式の積分だけになる。

$$\int {\sin }^{4}xdx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C$$

偶数乗は、この手順を指数の半分だけ繰り返せば必ず片づく。

奇数乗は 1 つ残して置換する

${\sin }^{3}x$ では次数下げが使えない。代わりに $\sin x$ を 1 つ外へ出し、残りを $\cos x$ で書き直す。

$${\sin }^{3}x=\sin x\cdot {\sin }^{2}x=\sin x(1-{\cos }^{2}x)$$

こうすると $t=\cos x$、$dt=-\sin xdx$ の置換がそのまま当たる。外へ出した $\sin x$ が $dt$ に化ける。

例 3：${\sin }^{3}x$

$t=\cos x$ と置く。$dt=-\sin xdx$ である。

$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{3}xdx& =\int (1-{\cos }^{2}x)\sin xdx=-\int (1-t^2)dt\\ & =-t+\frac{t^3}{3}+C=-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C\end{array}$$

例 4：${\sin }^{5}x$

同じ置換で通る。${\sin }^{4}x=(1-{\cos }^{2}x{)}^2$ と書き直す。

$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{5}xdx& =-\int (1-t^2{)}^{2}dt=-\int (1-2t^2+t^4)dt\\ & =-t+\frac{2t^3}{3}-\frac{t^5}{5}+C\\ & =-\cos x+\frac{2{\cos }^{3}x}{3}-\frac{{\cos }^{5}x}{5}+C\end{array}$$

奇数乗は何乗でも、展開して多項式の積分に落ちる。

例 5：${\sin }^{3}x{\cos }^{2}x$

$\sin$ の指数が奇数なので、$\sin x$ を 1 つ抜いて $t=\cos x$ と置く。

$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx& =\int (1-{\cos }^{2}x){\cos }^{2}x\cdot \sin xdx\\ & =-\int (1-t^2)t^{2}dt=-\int (t^2-t^4)dt\\ & =-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\frac{{\cos }^{5}x}{5}+C\end{array}$$

$\cos$ の側が偶数でも困らない。抜くのは奇数のほうと決まっている。

例 6：${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$

両方偶数なので次数下げに回る。先に 2 倍角でまとめると速い。

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x& =(\sin x\cos x{)}^2={\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)}^2=\frac{{\sin }^{2}2x}{4}\\ & =\frac{1}{4}\cdot \frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1-\cos 4x}{8}\end{array}$$

$$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C$$

積を和に直す

角の違う $\sin$ と $\cos$ の積は、積和公式で和になる^[2]。

右辺は 1 次式の三角関数の和なので、そのまま積分できる。積のままでは手が出ないところ。

$m$ と $n$ をどう変えても、赤い破線は青い曲線から離れない。積が和に等しいという式が、そのまま重なりとして見えている。

例 7：$\sin 3x\cos 2x$

$A=3x$、$B=2x$ を積和公式に入れる。

$$\begin{array}{rl}\sin 3x\cos 2x& =\frac{1}{2}\{\sin 5x+\sin x\}\\ \int \sin 3x\cos 2xdx& =\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 5x}{5}-\cos x\right)+C\\ & =-\frac{\cos 5x}{10}-\frac{\cos x}{2}+C\end{array}$$

例 8：$\cos 5x\cos 3x$

$\cos$ どうしなので 2 番目の公式を使う。

$$\begin{array}{rl}\cos 5x\cos 3x& =\frac{1}{2}\{\cos 8x+\cos 2x\}\\ \int \cos 5x\cos 3xdx& =\frac{\sin 8x}{16}+\frac{\sin 2x}{4}+C\end{array}$$

角が同じ $\sin 2x\cos 2x$ のような形なら、2 倍角のほうが速い。$\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$ である。

tan がらみは 1 + tan² を使う

$\tan$ の積分は $\frac{\sin x}{\cos x}$ と見て、$t=\cos x$ の置換で出る。

$$\int \tan xdx=-\log |\cos x|+C$$

2 乗以上では、次の関係が効く。両辺を ${\cos }^{2}x$ で割った形である。

$$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ は $\tan x$ の導関数なので、$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\tan x+C$ となる。

例 9：${\tan }^{2}x$

$$\int {\tan }^{2}xdx=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx=\tan x-x+C$$

$-x$ を忘れやすい。${\tan }^{2}x$ と $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ は $1$ だけ違う。

例 10：${\tan }^{3}x$

$\tan x$ を 1 つ残し、残りを書き直す。

$${\tan }^{3}x=\tan x\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)=\frac{\tan x}{{\cos }^{2}x}-\tan x$$

前半は $t=\tan x$、$dt=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}$ の置換で $\int tdt=\frac{{\tan }^{2}x}{2}$ になる。

$$\int {\tan }^{3}xdx=\frac{{\tan }^{2}x}{2}+\log |\cos x|+C$$

手順のまとめ

参考文献