10 乗を展開せずに済ませる〜定積分と漸化式（ウォリス積分）

$\int_{0}^{π /2} sin^{10} x d x$ を、次数下げで求めるのは現実的でない。 $10$ 乗を展開する手間が大きすぎる。

代わりに、 $n$ 乗の積分と $n - 2$ 乗の積分を結ぶ式を作る。部分積分を 1 回当てるだけで出てくる^[1]。

$I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x ⟹ I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$

あとは $I_{0}$ と $I_{1}$ から 2 つずつ飛ばして上っていけばよい。ウォリス積分と呼ばれる形である。

漸化式を作る

$sin^{n} x$ を $sin^{n - 1} x$ と $sin x$ の積と見て、 $sin x$ のほうを積分側に置く^[2]。

$I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n - 1} x \cdot sin x d x = [- sin^{n - 1} x cos x]_{0}^{π /2} + (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x cos^{2} x d x$

境界項は消える。上端では $cos \frac{π}{2} = 0$ 、下端では $sin 0 = 0$ だからである。

残った積分の $cos^{2} x$ を $1 - sin^{2} x$ に直す。ここで $I_{n}$ が戻ってくる。

$I_{n} = (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x (1 - sin^{2} x) d x = (n - 1) (I_{n - 2} - I_{n})$

$I_{n}$ について解く。移項して $n$ で割るだけ。

$n I_{n} = (n - 1) I_{n - 2}, I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$

出発点の 2 つ

$n = 0$ と $n = 1$ は直接計算できる。

$I_{0} = \int_{0}^{π /2} d x = \frac{π}{2}, I_{1} = \int_{0}^{π /2} sin x d x = 1$

漸化式は 2 つ飛ばしなので、偶数の列と奇数の列が別々に伸びる。 $π$ が出るのは偶数の側だけになる。

値を並べる

漸化式を順に当てると、次のように決まっていく。

$n$	偶数の列	奇数の列
$0, 1$	$\frac{π}{2}$	$1$
$2, 3$	$\frac{π}{4}$	$\frac{2}{3}$
$4, 5$	$\frac{3 π}{16}$	$\frac{8}{15}$
$6, 7$	$\frac{5 π}{32}$	$\frac{16}{35}$

$I_{4} = \frac{3}{4} I_{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{π}{4} = \frac{3 π}{16}$ のように、前の値に分数を掛けるだけで進む。

例 1： $I_{6}$ を求める

$I_{6} = \frac{5}{6} I_{4} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} I_{2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{5 π}{32}$

$6$ 乗を展開する必要がない。分数を 3 つ掛けるだけで済む。

例 2： $I_{5}$ を求める

$I_{5} = \frac{4}{5} I_{3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{8}{15}$

奇数の側には $π$ が出ない。出発点の $I_{1} = 1$ に $π$ が入っていないためである。

cos でも同じ値になる

$\int_{0}^{π /2} cos^{n} x d x = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x$

$x = \frac{π}{2} - u$ と置換すると、 $cos x = sin u$ になり区間も同じ $[0, \frac{π}{2}]$ に戻るためである。

$[0, \frac{π}{2}]$ では $sin$ と $cos$ が鏡写しになっている。片方の結果がそのまま使える。

$n$ が大きくなるほど山が右へ寄って細くなる。 $sin x < 1$ の部分が累乗で急に小さくなるためである。

指数関数でも漸化式が作れる

同じ手が他の形にも効く。 $J_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ を考える。

$f = x^{n}$ 、 $g^{'} = e^{x}$ として部分積分する。

$J_{n} = [x^{n} e^{x}]_{0}^{1} - n \int_{0}^{1} x^{n - 1} e^{x} d x = e - n J_{n - 1}$

こちらは 1 つ飛ばしではなく、1 つずつ下りる。出発点は $J_{0} = \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - 1$ である。

例 3： $J_{3}$ を求める

順に計算する。

J_{1} = e - 1 \cdot (e - 1) = 1

J_{2} = e - 2 \cdot 1 = e - 2

J_{3} = e - 3 (e - 2) = 6 - 2 e

$6 - 2 e \approx 0.563$ である。 $x^{3} e^{x}$ の原始関数を求めなくても、3 段で値が出た。

tan の累乗でも作れる

$L_{n} = \int tan^{n} x d x$ には、部分積分を使わない漸化式がある。

$tan^{n} x = tan^{n - 2} x (\frac{1}{cos ^{2} x} - 1)$ と書き直す^[3]。

$L_{n} = \frac{tan ^{n - 1} x}{n - 1} - L_{n - 2}$

前半は $t = tan x$ の置換で出る。符号がマイナスなので、偶数段と奇数段で交互に符号が変わる。

漸化式を作る手順

$n$ 乗を $(n - 1)$ 乗と 1 つに分ける

部分積分または恒等式で書きかえる

$I_{n}$ が戻ってきたら移項する

出発点を直接計算する

$I_{n}$ が右辺に戻ってくるところが鍵になる。戻ってこなければ、そのまま次数の下がった積分として使えばよい。

漸化式が作れるのは、 $n$ 乗の積分が $n - 1$ 乗や $n - 2$ 乗の積分と結びつくときである。部分積分で次数が 1 下がる構造を使っている。

出発点さえ計算できれば、あとは何乗でも掛け算で届く。展開する必要がなくなる。

例 4： $I_{10}$ を求める

偶数なので $I_{0} = \frac{π}{2}$ から上る。

$I_{10} = \frac{9}{10} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{63 π}{512}$

分子は奇数の積 $9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 945$ 、分母は偶数の積 $10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 3840$ である。約分して $\frac{63}{256}$ となり、 $\frac{π}{2}$ を掛けて上の値になる。

$10$ 乗を展開する道と比べれば、手間の差は歴然としている。

参考文献

Wallis' integrals. Wikipedia（英語）.

Integration by parts. Wikipedia（英語）.

List of integrals of trigonometric functions. Wikipedia（英語）.

$\int_0^{\pi/2}\sin^{10}x\,dx$ を次数下げで解くのは手に負えません。$n$ 乗と $n-2$ 乗を結ぶ式を作れば、分数を掛けるだけで届きます。部分積分を $1$ 回当てて $I_n$ が右辺に戻ってきたら、移項して $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$。$2$ つ飛ばしなので偶数と奇数で列が分かれ、$\pi$ が残るのは偶数側だけ。多項式と指数関数の積、$\tan$ の累乗でも同じ手が効きます。