分子が分母の微分なら答えは log、指数関数と対数関数の積分

$e^x$ は微分しても形が変わらない。積分しても変わらない。数学Ⅲ の積分で、いちばん扱いやすい関数である。

$$\int e^{x}dx=e^x+C$$

対数のほうは、積分の結果として現れる側にいる。$\frac{1}{x}$ を積分すると $\log |x|$ が出てくる^[1]。

そして分母の微分が分子に乗っている形は、すべて対数になる。この $\frac{f^{\prime }}{f}$ 型を見抜けるかどうかが、この分野の分かれ目になる。

指数関数の積分

底が $e$ でなければ、$(a^x{)}^{\prime }=a^x\log a$ の $\log a$ が邪魔をする。割って打ち消す。

$$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\log a}+C(a>0,a\ne 1)$$

$a=1$ を除くのは、$\log 1=0$ で分母が消えるからである。$1^x$ は定数関数 $1$ なので、そもそも指数関数として扱う必要がない。

1 次式が肩に乗った形は、$\frac{1}{a}$ を掛けるだけで済む^[3]。

$$\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax+b}+C$$

$a$ が $1$ をまたぐところで曲線が水平になり、係数が発散する。公式から $a=1$ を外す理由がここに出ている。

例 1：指数関数のいろいろ

4 番目は $2\cosh x$ の積分にあたる形だが、高校では素直に項別に積分すればよい。5 番目は底をまとめてから当てると速い。

$\frac{f^{\prime }}{f}$ 型は対数になる

分子が分母の導関数になっているとき、$t=f(x)$ の置換で必ず対数が出る^[2]。

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|+C$$

$dt=f^{\prime }(x)dx$ なので、積分は $\int \frac{dt}{t}=\log |t|$ に化ける。分子と分母を見比べて、微分の関係になっているかを確かめるだけで解ける。

係数がずれていても、定数倍を調整すれば同じ形に持ちこめる。

例 2：分子が分母の微分そのもの

$$\int \frac{2x+3}{x^2+3x+1}dx=\log |x^2+3x+1|+C$$

分母を微分すると $2x+3$ で、分子と一致する。何も工夫せずに答えが出る。

例 3：定数倍でそろえる

$$\int \frac{x}{x^2+1}dx$$

分母の微分は $2x$ で、分子より $2$ 倍大きい。分子を $\frac{1}{2}\cdot 2x$ と見る。

$$\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\log (x^2+1)+C$$

$x^2+1>0$ なので絶対値は外せる。外せるかどうかは、分母の符号で判断する。

例 4：tan の積分もこの型

$$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{(\cos x{)}^{\prime }}{\cos x}dx=-\log |\cos x|+C$$

$\cos x$ は正にも負にもなるので、絶対値を外せない。

$f$ が $0$ になる点で $\log |f|$ が下に抜ける。その両側で $f$ の符号が違っても、絶対値を付けておけば 1 本の式で書ける。

例 5：指数が分母にある形

$$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=\log (e^x+1)+C$$

分母の微分が $e^x$ で分子と一致する。$e^x+1>0$ なので絶対値は要らない。

分子と分母を $e^x$ で割ると $\int \frac{dx}{1+e^{-x}}$ になり、見た目が変わっても同じ積分である。

対数が中に入った積分

$\log x$ そのものの積分には別の技法が要るが、$\log x$ が置換の対象になる形なら素直に解ける。

$t=\log x$ と置くと $dt=\frac{dx}{x}$ となる。$\frac{1}{x}$ がセットで現れているかを探す。

例 6：$\frac{\log x}{x}$

$$\int \frac{\log x}{x}dx=\int tdt=\frac{t^2}{2}+C=\frac{(\log x{)}^2}{2}+C$$

$\frac{1}{x}$ が $dt$ に吸われ、残った $\log x$ が $t$ になる。

例 7：$\frac{1}{x\log x}$

$$\int \frac{dx}{x\log x}=\int \frac{dt}{t}=\log |t|+C=\log |\log x|+C$$

対数が 2 重に重なる形。$\frac{f^{\prime }}{f}$ 型の $f$ が $\log x$ になっていると見てもよい。

例 8：$\frac{(\log x{)}^3}{x}$

$$\int \frac{(\log x{)}^3}{x}dx=\int t^{3}dt=\frac{(\log x{)}^4}{4}+C$$

指数がいくつでも同じ置換で通る。

例 9：$x{e}^{x^2}$

肩の $x^2$ を微分すると $2x$ で、外の $x$ の $2$ 倍である。$t=x^2$ と置く。

$$\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int e^{t}dt=\frac{e^{x^2}}{2}+C$$

$e^{x^2}$ だけなら初等関数では積分できないが、$x$ が掛かっていれば置換が通る。掛かっているかどうかで難易度が完全に変わる。

例 10：$e^x$ の中に $e^x$ がある形

$$\int e^x{e}^{e^x}dx$$

$t=e^x$ と置くと $dt=e^{x}dx$ である。

$$=\int e^{t}dt=e^t+C=e^{e^x}+C$$

$e^x$ の導関数が $e^x$ 自身なので、この入れ子はきれいに解ける。

$y=e^x$ と $y=\log x$ は $y=x$ について対称である。片方の面積が分かれば、長方形から引いてもう片方が出る。

例 11：面積から $\log x$ の積分を出す

$1$ から $e$ までの $\log x$ の下の面積を、対称性で求める。全体の長方形は縦 $1$、横 $e$ である。

$y=\log x$ の下の面積は、長方形 $[0,e]\times [0,1]$ から $y=e^x$（$x\le 1$）の下の面積を引いたものになる。

$${\int }_1^e\log xdx=e\cdot 1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$$

部分積分を使わずに、図の対称性だけで値が出た。答えは $1$ ちょうどになる。

参考文献