置換したら区間も書きかえる、x に戻さない定積分

不定積分で置換したら、最後に $x$ へ戻す必要があった。定積分では戻さなくてよい。代わりに積分区間を書きかえる^[1]。

$${\int }_a^{b}f(g(x))g^{\prime }(x)dx={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt$$

$x$ が $a$ から $b$ まで動くとき、$t=g(x)$ は $g(a)$ から $g(b)$ まで動く。その区間で積分すればよい。

戻す手間が消えるので、定積分のほうがむしろ楽になる。置換して区間を書きかえたら、あとは新しい変数だけで完結する。

原始関数を求めて上端と下端を代入する、という定積分の計算そのものは変わらない^[2]。変わるのは、どの変数の区間で代入するかだけである。

対応表を作る

置換したら、まず $x$ と $t$ の対応を書き出す。上端と下端の 2 つだけでよい。

この表を書いてから積分に入る。書かずに進めると、区間の入れかえを忘れる。

上の点が右へ進むと、下の点も右へ進む。両端が対応しているので、区間ごと写し替えられる。

例 1：1 次式の置換

$${\int }_0^1(2x+1{)}^{3}dx$$

$t=2x+1$ と置く^[3]。$dt=2dx$ で、$x:0\to 1$ に対し $t:1\to 3$ である。

$$=\frac{1}{2}{\int }_1^3{t}^{3}dt=\frac{1}{2}{\left[\frac{t^4}{4}\right]}_1^3=\frac{81-1}{8}=10$$

$x$ に戻さずに、$t$ の区間で計算して終わる。

例 2：区間が逆向きになる場合

$${\int }_0^{1}x\sqrt{1-x^2}dx$$

$t=1-x^2$ と置く。$dt=-2xdx$ で、$x:0\to 1$ に対し $t:1\to 0$ である。

上端と下端が入れかわる。符号を付けて向きをそろえる。

$$\begin{array}{rl}& =-\frac{1}{2}{\int }_1^0\sqrt{t}dt=\frac{1}{2}{\int }_0^1{t}^{1/2}dt\\ & =\frac{1}{2}{\left[\frac{2}{3}{t}^{3/2}\right]}_0^1=\frac{1}{3}\end{array}$$

$dt$ の符号と区間の入れかえで、マイナスが 2 回出て打ち消し合う。

例 3：対数の置換

$${\int }_1^e\frac{\log x}{x}dx$$

$t=\log x$ と置く。$dt=\frac{dx}{x}$ で、$x:1\to e$ に対し $t:0\to 1$ である。

$$={\int }_0^{1}tdt=\frac{1}{2}$$

区間が $[1,e]$ という半端な形から $[0,1]$ に変わる。置換のたびに区間は素直になっていく。

例 4：三角関数の置換

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{3}x\cos xdx$$

$t=\sin x$ と置く。$dt=\cos xdx$ で、$x:0\to \frac{\pi }{2}$ に対し $t:0\to 1$ である。

$$={\int }_0^1{t}^{3}dt=\frac{1}{4}$$

例 5：指数関数の置換

$${\int }_0^{\log 2}\frac{e^x}{e^x+1}dx$$

$t=e^x+1$ と置く。$dt=e^{x}dx$ で、$x:0\to \log 2$ に対し $t:2\to 3$ である。

$$={\int }_2^3\frac{dt}{t}=[\log t{]}_2^3=\log \frac{3}{2}$$

面積は形を変えても保たれる

置換すると被積分関数の形も区間も変わるが、面積は変わらない。横に伸びたぶん縦が縮む、という交換が起きている。

上の山と下の単調な曲線は、見た目がまったく違う。それでも囲む面積は同じ $\frac{1}{3}$ である。

例 6：$x$ を $t$ で表す置換

置換の向きが逆になる場合もある。$t$ を決めて $x$ を $t$ で書く。

$${\int }_0^4\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$$

$t=\sqrt{x}$ と置くと $x=t^2$、$dx=2tdt$ である。$x:0\to 4$ に対し $t:0\to 2$。

$$={\int }_0^2\frac{2t}{1+t}dt=2{\int }_0^2\left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt$$

分子の次数が分母以上なので、割ってから積分する。

$$=2[t-\log (1+t){]}_0^2=2(2-\log 3)=4-2\log 3$$

根号を $t$ と置くと、$dx$ に $t$ が出てきて分子が整う。この形はよく出る。

単調でない置換に気をつける

$x$ の区間の中で $t=g(x)$ が増減を変えると、区間の対応が 1 対 1 でなくなる。

${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx$ で $t=x^2$ と置くと、$x:-1\to 1$ に対して $t$ は $1\to 0\to 1$ と動く。単純に $t:1\to 1$ とすると $0$ になり、正しい値 $\frac{2}{3}$ と合わない。

対策は区間を切ることである。$[-1,0]$ と $[0,1]$ に分ければ、それぞれで単調になって置換が通る。

偶関数の対称性を使い、$2{\int }_0^1{x}^{2}dx$ としてもよい。どちらでも同じ結果になる。

手順のまとめ

3 番目を飛ばすと、$x$ の区間のまま $t$ で積分することになって値が合わない。表を書く習慣が効く。

参考文献