積分記号の中に x があるとき（定積分で表された関数）

積分記号の中に $x$ が現れる問題は、2 つの型に分かれる。見分けがつけば、あとは決まった手順で進む。

上端と下端が定数なら、その積分はただの数である。文字で置いて方程式を作る。

上端に $x$ が入っていれば、$x$ の関数になる。微分すると被積分関数がそのまま出てくる^[1]。

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$

積分してから微分すると、もとに戻る。微積分学の基本定理と呼ばれる関係である。

2 つの型を見分ける

積分変数には $t$ を使う。$x$ を両方に使うと、定数として扱う部分と変数として扱う部分が混ざる。

型 A：端が定数なら数と置く

${\int }_0^{1}f(t)dt$ は $f$ が決まれば数である。まだ $f$ が分かっていなくても、$k$ と置いてしまえばよい。

そのあと $f$ を $k$ を含む形で書き、もう一度積分して $k$ の方程式を作る。

例 1：$f(x)=x+2{\int }_0^{1}f(t)dt$

$k={\int }_0^{1}f(t)dt$ と置く。すると $f(x)=x+2k$ である。

これを $k$ の式に代入し直す。

$$\begin{array}{rl}k& ={\int }_0^1(t+2k)dt={\left[\frac{t^2}{2}+2kt\right]}_0^1=\frac{1}{2}+2k\\ -k& =\frac{1}{2},k=-\frac{1}{2}\end{array}$$

$$f(x)=x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=x-1$$

確かめる。${\int }_0^1(t-1)dt=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$ で、$k$ と一致した。

例 2：積分の中に $t$ が掛かる場合

$$f(x)=3x^2+{\int }_0^{1}tf(t)dt$$

置くのは $k={\int }_0^{1}tf(t)dt$ である。積分全体をひとかたまりと見る。

$f(x)=3x^2+k$ を代入する。

$$\begin{array}{rl}k& ={\int }_0^{1}t(3t^2+k)dt={\int }_0^1(3t^3+kt)dt\\ & =\frac{3}{4}+\frac{k}{2}\end{array}$$

$\frac{k}{2}=\frac{3}{4}$ より $k=\frac{3}{2}$ である。

$$f(x)=3x^2+\frac{3}{2}$$

型 B：上端に $x$ があれば微分する

$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ は $x$ の関数である。$x$ を大きくすると面積が増えていく。

増える速さが $f(x)$ に等しい。高さ $f(x)$ の薄い帯が右に足されていくためである。

上の曲線が軸を切る $2$ 点で、下の曲線が山と谷になる。$F^{\prime }=f$ という関係が、そのまま増減の対応として出ている。

例 3：極値を求める

$$F(x)={\int }_0^x(t^2-3t+2)dt$$

微分すると $F^{\prime }(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ である。

$x<1$ で正、$1<x<2$ で負、$x>2$ で正。したがって $x=1$ で極大、$x=2$ で極小になる。

積分を実行して値を出す。

$$\begin{array}{rl}F(1)& ={\left[\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t\right]}_0^1=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+2=\frac{5}{6}\\ F(2)& =\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}\end{array}$$

増減だけなら積分せずに分かる。値が要るときだけ積分すればよい。

上端が $x$ の関数のとき

上端が $g(x)$ なら、合成関数の微分がそのまま効く^[1]。

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

$g^{\prime }(x)$ を掛け忘れると答えがずれる。上端が単なる $x$ のときは $g^{\prime }(x)=1$ なので、掛けても変わらない。

例 4：上端が $x^2$

$$\frac{d}{dx}{\int }_1^{x^2}\log tdt=\log (x^2)\cdot 2x=4x\log x(x>0)$$

$\log (x^2)=2\log x$ を使った。$g^{\prime }(x)=2x$ を掛けるところが要点になる。

例 5：$f$ と定数を同時に求める

$${\int }_a^{x}f(t)dt=x^2-3x+2$$

両辺を $x$ で微分する。左辺は $f(x)$ になる。

$$f(x)=2x-3$$

$a$ を求めるには、$x=a$ を代入する。左辺は積分区間の幅が $0$ なので $0$ である。

$$0=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)$$

$a=1$ または $a=2$ となる。微分で $f$ を、代入で $a$ を出す。この 2 手が定石になる。

例 6：積分の中に $t$ が掛かる場合

$${\int }_0^{x}tf(t)dt=x\sin x$$

両辺を微分する。左辺は $xf(x)$ になる。右辺は積の微分である。

$$xf(x)=\sin x+x\cos x$$

$x\ne 0$ で割る。

$$f(x)=\frac{\sin x}{x}+\cos x$$

被積分関数がまるごと出てくるので、$tf(t)$ の $t$ も $x$ に変わる。

例 7：極限として現れる形

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$$

$F(x)={\int }_0^x{e}^{t^2}dt$ と置くと $F(0)=0$ である。式は次の形に読める。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=F^{\prime }(0)$$

これは微分係数の定義そのものである。$F^{\prime }(x)=e^{x^2}$ なので、答えは $F^{\prime }(0)=1$。

$e^{t^2}$ の原始関数は初等関数では書けない^[2]。それでもこの極限は求まる。積分を実行せずに済ませられる形になっている。

赤い線が $1$ に近づいていく。狭い区間での平均が、その点での値に一致するという事実が見える。

手順のまとめ

参考文献